Utilize uma integral dupla, em coordenadas polares, para determinar a área da região indicada.
Interna a uma pétala da rosácea r=\cos 3 \theta.

Passo 1

O que o problema pede: determinar a área da região interna a uma pétala da rosácea r=\cos 3\theta.
Informações fornecidas pelo enunciado: a curva é dada em coordenadas polares por r(\theta)=\cos 3\theta.
Pergunta a responder: qual é a área de UMA pétala dessa curva?

Passo 2

Conceito importante (aula rápida sobre área em coordenadas polares).
Em coordenadas polares, um elemento de área é dado por \,dA=r\,dr\,d\theta. Se a região for descrita por 0\le r\le r(\theta) e \theta_1\le\theta\le\theta_2, a área é
A=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\int_{0}^{r(\theta)} r\,dr\,d\theta.
Fazendo a integração em r (é uma integral simples): \displaystyle \int_{0}^{r(\theta)} r\,dr=\frac{1}{2}r(\theta)^2. Portanto a fórmula prática que usamos é
A=\frac{1}{2}\int_{\theta_1}^{\theta_2} r(\theta)^2\,d\theta.
Aqui r(\theta) é a função radial que define a fronteira da região, r é a variável radial e \theta é o ângulo. Essa fórmula é essencial e fácil de memorizar: metade da integral do quadrado do raio.

Passo 3

Definir os limites angulares que descrevem UMA pétala.
Uma pétala corresponde ao trecho onde r(\theta)=\cos 3\theta é não negativo (pois vem de r\ge0 indo de 0 até a curva). Então resolvemos
\cos 3\theta \ge 0.
A condição \cos u\ge0 vale para u\in\left[-\tfrac{\pi}{2}+2k\pi,\;\tfrac{\pi}{2}+2k\pi\right]. Tomando u=3\theta e k=0 obtemos
3\theta\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right]\quad\Rightarrow\quad \theta\in\left[-\tfrac{\pi}{6},\tfrac{\pi}{6}\right].
Esse intervalo \left[-\tfrac{\pi}{6},\tfrac{\pi}{6}\right] descreve uma pétala central (as outras pétalas aparecem para k=1,2 deslocadas por \tfrac{2\pi}{3}). Então escolhemos \theta_1=-\tfrac{\pi}{6} e \theta_2=\tfrac{\pi}{6}.

Passo 4

Montar a integral da área de uma pétala, substituindo r(\theta)=\cos 3\theta na fórmula do Passo 2:
A=\frac{1}{2}\int_{-\pi/6}^{\pi/6} \big(\cos 3\theta\big)^2\,d\theta.
Vamos calcular essa integral passo a passo.

Passo 5

Usar identidade trigonométrica para simplificar \cos^2. A identidade é
\cos^2 u=\frac{1+\cos 2u}{2}.
Aplicando com u=3\theta \cos^2(3\theta)=\dfrac{1+\cos 6\theta}{2}. Assim
A=\frac{1}{2}\int_{-\pi/6}^{\pi/6} \frac{1+\cos 6\theta}{2}\,d\theta =\frac{1}{4}\int_{-\pi/6}^{\pi/6} \big(1+\cos 6\theta\big)\,d\theta.

Passo 6

Calcular a integral separando as partes:
\int_{-\pi/6}^{\pi/6} 1\,d\theta = \left.\theta\right|_{-\pi/6}^{\pi/6} = \frac{\pi}{6}-\left(-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\pi}{3},
\int_{-\pi/6}^{\pi/6} \cos 6\theta\,d\theta = \left.\frac{1}{6}\sin 6\theta\right|_{-\pi/6}^{\pi/6} =\frac{1}{6}\big(\sin \pi - \sin(-\pi)\big)=\frac{1}{6}(0-0)=0.
Portanto a integral total vale \dfrac{\pi}{3}+0=\dfrac{\pi}{3}. Multiplicando pelo fator \dfrac{1}{4} do Passo 5:
A=\frac{1}{4}\cdot\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{12}.

Passo 7

Interpretação final e dica para a prova: a área de UMA pétala é \dfrac{\pi}{12}. Como a rosácea r=\cos 3\theta tem três pétalas (porque 3 é ímpar), a área total da curva seria 3\cdot\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\pi}{4}. Mas a resposta pedida foi a área de uma pétala, então ficamos com \dfrac{\pi}{12}. Vai dar tudo certo na prova — confiança!

Resposta

\dfrac{\pi}{12}

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