Utilize uma integral dupla, em coordenadas polares, para determinar a área da região indicada.
No primeiro quadrante e dentro da cardioide r=1+\operatorname{sen} \theta.

Passo 1

O enunciado pede a área da região que está no primeiro quadrante e que fica dentro da cardioide r=1+\sin\theta.\n
Informações dadas e o que precisamos:
\text{Cardioide: } r = 1 + \sin\theta.
\text{Região: pontos com }0\le r\le 1+\sin\theta\text{ e no primeiro quadrante.}ã
\text{Primeiro quadrante: ângulos } \theta \text{ entre } 0 \text{ e } \tfrac{\pi}{2}.â
A tarefa é calcular a área dessa região.

Passo 2

Vamos usar coordenadas polares. Lembra que em coordenadas polares:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
O elemento de área em coordenadas polares é dado por
dA = r\,dr\,d\theta.
Breve explicação: esse fator r aparece porque, quando transformamos da grade cartesiana para a polar, um pequeno retângulo em (r,\theta) tem área aproximadamente r\,\Delta r\,\Delta\theta (o arco de raio r tem comprimento \approx r\,\Delta\theta). Por isso integraremos r\,dr\,d\theta sobre a região.

Passo 3

Determinar os limites de integração:
  • Como estamos no primeiro quadrante, \theta varia de 0 até \tfrac{\pi}{2}.
  • Para cada \theta fixo, r vai de 0 (origem) até a curva r=1+\sin\theta.
Assim a integral dupla que dá a área A é
A=\int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{1+\sin\theta} r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Calcule a integral interna em r. Temos
\int_{0}^{1+\sin\theta} r\,dr = \left.\frac{1}{2}r^{2}\right|_{0}^{1+\sin\theta} = \frac{1}{2}\bigl(1+\sin\theta\bigr)^{2}.
Portanto
A=\int_{0}^{\pi/2}\frac{1}{2}\bigl(1+\sin\theta\bigr)^{2} d\theta.
Observação útil: essa forma corresponde à fórmula compacta frequentemente usada em polares
A=\frac{1}{2}\int_{\theta_1}^{\theta_2} r(\theta)^{2}\,d\theta,
que vem exatamente da integração que fizemos.

Passo 5

Expanda o quadrado para facilitar a integração:
\bigl(1+\sin\theta\bigr)^{2} = 1 + 2\sin\theta + \sin^{2}\theta.
Logo
A=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2}\bigl(1 + 2\sin\theta + \sin^{2}\theta\bigr)\,d\theta.

Passo 6

Para integrar \sin^{2}\theta use a identidade de ângulo duplo:
\sin^{2}\theta = \frac{1-\cos(2\theta)}{2}.
Substituindo na integral deixa-a em termos de funções fáceis de integrar (constantes, \sin\theta e \cos(2\theta)).

Passo 7

Calcule as integrais separadamente (cada termo é simples):
  1. Para a constante:
\int_{0}^{\pi/2} 1\,d\theta = \frac{\pi}{2}.
  1. Para o \sin\theta:
\int_{0}^{\pi/2} 2\sin\theta\,d\theta = 2\bigl[-\cos\theta\bigr]_{0}^{\pi/2} = 2(0+1)=2.
  1. Para \sin^{2}\theta:
\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}\theta\,d\theta = \int_{0}^{\pi/2}\frac{1-\cos(2\theta)}{2}\,d\theta = \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2}1\,d\theta - \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2}\cos(2\theta)\,d\theta.
A primeira parte é \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{4}. A segunda parte é
\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}\sin(2\theta)\right]_{0}^{\pi/2}=\frac{1}{4}\bigl(\sin\pi-\sin 0\bigr)=0.
Logo
\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}\theta\,d\theta = \frac{\pi}{4}.

Passo 8

Some os resultados das três integrais:
\int_{0}^{\pi/2}\bigl(1 + 2\sin\theta + \sin^{2}\theta\bigr)\,d\theta = \frac{\pi}{2} + 2 + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2.
Portanto, lembrando do fator \tfrac{1}{2} que estava fora da integral,
A = \frac{1}{2}\left(\frac{3\pi}{4} + 2\right).

Resposta

1+\dfrac{3\pi}{8}

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