Utilize uma integral dupla, em coordenadas polares, para determinar a área da região indicada.
No primeiro quadrante e dentro da cardioide r=1+\operatorname{sen} \theta.
Passo 1
O enunciado pede a área da região que está no primeiro quadrante e que fica dentro da cardioide r=1+\sin\theta.\n
Informações dadas e o que precisamos:
\text{Cardioide: } r = 1 + \sin\theta.
\text{Região: pontos com }0\le r\le 1+\sin\theta\text{ e no primeiro quadrante.}
\text{Primeiro quadrante: ângulos } \theta \text{ entre } 0 \text{ e } \tfrac{\pi}{2}.
A tarefa é calcular a área dessa região.
Passo 2
Vamos usar coordenadas polares. Lembra que em coordenadas polares:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
O elemento de área em coordenadas polares é dado por
dA = r\,dr\,d\theta.
Breve explicação: esse fator r aparece porque, quando transformamos da grade cartesiana para a polar, um pequeno retângulo em (r,\theta) tem área aproximadamente r\,\Delta r\,\Delta\theta (o arco de raio r tem comprimento \approx r\,\Delta\theta). Por isso integraremos r\,dr\,d\theta sobre a região.
Passo 3
Determinar os limites de integração:
Como estamos no primeiro quadrante, \theta varia de 0 até \tfrac{\pi}{2}.
Para cada \theta fixo, r vai de 0 (origem) até a curva r=1+\sin\theta.