Utilize a integral dupla para determinar a área da região.
A região interior a ambos os círculos
e
.
A região interior a ambos os círculos
Passo 1
O enunciado pede para usar integral dupla em coordenadas polares para achar a área da região que está simultaneamente dentro dos dois círculos dados por r = cos[θ e r = sin[θ.
Passo 2
Em coordenadas polares, temos dA = r dr dθ, e o interior comum exige r ≤ cos[θ e r ≤ sin[θ com r ≥ 0. Como cos[θ e sin[θ só são positivos no primeiro quadrante, a gente fica com θ ∈ [0,π/2].
Passo 3
Para decidir qual curva limita r em cada ângulo, igualamos cos[θ = sin[θ, obtendo θ = π/4. Assim, em 0 ≤ θ ≤ π/4 vale sin[θ ≤ cos[θ, e em π/4 ≤ θ ≤ π/2 vale cos[θ ≤ sin[θ.
Passo 4
A integral dupla se divide em dois trechos:
Primeiro trecho: θ de 0 a π/4 e r de 0 a sin[θ.
Segundo trecho: θ de π/4 a π/2 e r de 0 a cos[θ.
Como ∫₀ᵃ r dr = a²/2, isso vira duas integrais em θ só, cada uma com fator 1/2 na frente.
Segundo trecho: θ de π/4 a π/2 e r de 0 a cos[θ.
Como ∫₀ᵃ r dr = a²/2, isso vira duas integrais em θ só, cada uma com fator 1/2 na frente.
Passo 5
Usando as identidades
e integrando em cada intervalo, cada parcela dá π/16 - 1/8. Somando-as, a área total é 2*(π/16 - 1/8).