Utilize a integral dupla para determinar a área da região.
Um laço da rosácea r=cos 3 theta

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar a área de um único laço da rosácea definida por r=cos 3θ usando integral dupla em coordenadas polares. O conteúdo aqui é área em coordenadas polares, e vamos precisar montar e avaliar uma integral dupla do tipo ∫∫_R dA.

Passo 2

Precisamos achar para quais θ o ‘raio’ r=cos 3θ é não-negativo, porque isso define um laço. Como queremos cos 3θ ≥ 0, temos 3θ ∈ [–π/2, π/2], ou seja θ ∈ [–π/6, π/6].

Passo 3

Em coordenadas polares, a área de R é dada por
A=integralθ=-π/6^π/6integralr=0^r=cos 3θr,dr,dθ

Passo 4

Primeiro a gente faz a integral interna em r:
integral0^cos3θr,dr=12l(cos3θr)^2=12cos^2(3θ)

Passo 5

Então a área vira
A=12integral-π/6^π/6cos^2(3θ),dθ
Agora usamos a identidade trigonométrica
cos^2x=1+cos2x2
com x=3θ, ou seja cos^2(3θ)=(1+cos6θ)/2.

Passo 6

Substituindo na integral e calculando:
A=12integral-π/6^π/61+cos6θ2,dθ=14integral-π/6^π/6(1+cos6θ),dθ
Integrando:
integral(1+cos6θ)dθ=θ+16sin6θ
Avalia de θ=–π/6 até π/6. Como sin(6·π/6)=sinπ=0 e sin(–π)=0, sobra só θ.

Passo 7

Fazendo a avaliação final:
A=14l[θr]-π/6^π/6=14l(π6-(-π6)r)=14cdotπ3=π12

Resposta

π12

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