Utilize a integral dupla para determinar a área da região.
Um laço da rosácea
Um laço da rosácea
Passo 1
O enunciado pede pra gente achar a área de um único laço da rosácea definida por r=cos 3θ usando integral dupla em coordenadas polares. O conteúdo aqui é área em coordenadas polares, e vamos precisar montar e avaliar uma integral dupla do tipo ∫∫_R dA.
Passo 2
Precisamos achar para quais θ o ‘raio’ r=cos 3θ é não-negativo, porque isso define um laço. Como queremos cos 3θ ≥ 0, temos 3θ ∈ [–π/2, π/2], ou seja θ ∈ [–π/6, π/6].
Passo 3
Em coordenadas polares, a área de R é dada por
Passo 4
Primeiro a gente faz a integral interna em r:
Passo 5
Então a área vira
Agora usamos a identidade trigonométrica
com x=3θ, ou seja cos^2(3θ)=(1+cos6θ)/2.
Passo 6
Substituindo na integral e calculando:
Integrando:
Avalia de θ=–π/6 até π/6. Como sin(6·π/6)=sinπ=0 e sin(–π)=0, sobra só θ.
Passo 7
Fazendo a avaliação final: