Ache os pontos máximos e mínimos locais e pontos de sela da função
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Passo 1
Vamos resolver o exercício de cálculo multivariável que pede para encontrar os pontos máximos, mínimos locais e pontos de sela da função $ f(x, y) = y e^{1 - y^2 - x^2} $.
Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função e usar os conceitos de pontos críticos e o teste da segunda derivada para classificar os pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos ocorrem onde as derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $:
Passo 4
Calculando a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $:
Passo 5
Agora, igualamos as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 6
Resolvendo $ f_x = 0 $:
Como $ e^{1 - y^2 - x^2} $ nunca é zero, temos:
Passo 7
Resolvendo $ f_y = 0 $:
Novamente, $ e^{1 - y^2 - x^2} \neq 0 $, então:
Passo 8
Voltando aos pontos onde $ x = 0 $ ou $ y = 0 $:
Quando $ x = 0 $, e $ y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Quando $ y = 0 $, mas de $ f_y =0 $ temos $ y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} $, então $ y =0 $ não satisfaz a segunda equação.
Portanto, os pontos críticos são $ (0, \frac{\sqrt{2}}{2}) $ e $ (0, -\frac{\sqrt{2}}{2}) $.
Passo 9
Agora, vamos classificar esses pontos usando o teste da segunda derivada. Primeiro, precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
Mas para simplificar, já que $ x =0 $ nos pontos críticos, vamos calcular as segundas derivadas nesses pontos:
Passo 10
Calculamos o discriminante:
Simplificando,
Passo 11
Para $ y = \frac{\sqrt{2}}{2} $:
E $ f_{xx} = -2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} e^{0.5} = -\sqrt{2} e^{0.5} <0 $
Então, ponto $ (0, \frac{\sqrt{2}}{2}) $ é um máximo local.
Para $ y = -\frac{\sqrt{2}}{2} $:
E $ f_{xx} = -2 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{0.5} = \sqrt{2} e^{0.5} >0 $
Então, ponto $ (0, -\frac{\sqrt{2}}{2}) $ é um mínimo local.
Passo 12
Conclusão: A função possui um ponto máximo local em $ (0, \frac{\sqrt{2}}{2}) $, um ponto mínimo local em $ (0, -\frac{\sqrt{2}}{2}) $, e não há pontos de sela.
Resposta
Os pontos críticos da função $ f(x, y) = y e^{1 - y^2 - x^2} $ são:
- Máximo local em $ \left(0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) $
- Mínimo local em $ \left(0, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) $
Não há pontos de sela.