Ache os pontos máximos e mínimos locais e pontos de sela da função f(x, y)=y e^1-y^2-x^2.

Passo 1

Vamos resolver o exercício de cálculo multivariável que pede para encontrar os pontos máximos, mínimos locais e pontos de sela da função $ f(x, y) = y e^{1 - y^2 - x^2} $.
Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função e usar os conceitos de pontos críticos e o teste da segunda derivada para classificar os pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos ocorrem onde as derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $:
f

Passo 4

Calculando a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $:
f

Passo 5

Agora, igualamos as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos:
fx = 0 Rightarrow -2xy e^1 - y^2 - x^2 = 0
fy = 0 Rightarrow e^1 - y^2 - x^2(1 - 2y^2) = 0

Passo 6

Resolvendo $ f_x = 0 $:
Como $ e^{1 - y^2 - x^2} $ nunca é zero, temos:
fx = 0

Passo 7

Resolvendo $ f_y = 0 $:
Novamente, $ e^{1 - y^2 - x^2} \neq 0 $, então:
fy = 0

Passo 8

Voltando aos pontos onde $ x = 0 $ ou $ y = 0 $:
Quando $ x = 0 $, e $ y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Quando $ y = 0 $, mas de $ f_y =0 $ temos $ y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} $, então $ y =0 $ não satisfaz a segunda equação.
Portanto, os pontos críticos são $ (0, \frac{\sqrt{2}}{2}) $ e $ (0, -\frac{\sqrt{2}}{2}) $.

Passo 9

Agora, vamos classificar esses pontos usando o teste da segunda derivada. Primeiro, precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = partialpartial x(-2xy e^1 - y^2 - x^2) = -2y e^1 - y^2 - x^2 + 4x^2 y e^1 - y^2 - x^2
fyy = partial^2 fpartial y^2 = partialpartial y(e^1 - y^2 - x^2(1 - 2y^2)) = e^1 - y^2 - x^2(-2y)(1 - 2y^2) + e^1 - y^2 - x^2(-4y) = e^1 - y^2 - x^2(-6y + 4y^3)
fxy = partial^2 fpartial x partial y = partialpartial y(-2xy e^1 - y^2 - x^2) = -2x e^1 - y^2 - x^2 + 4xy^2 e^1 - y^2 - x^2
Mas para simplificar, já que $ x =0 $ nos pontos críticos, vamos calcular as segundas derivadas nesses pontos:
x =0
fxx(0,y) = -2y e^1 - y^2
fyy(0,y) = e^1 - y^2( -6y + 4y^3 )

Passo 10

Calculamos o discriminante:
D = fxx fyy - (fxy)^2 = (-2y e^1 - y^2)(-6y e^1 - y^2 + 4y^3 e^1 - y^2) - 0 = ( -2y)(-6y +4 y^3 ) e^2(1 - y^2)
Simplificando,
D = (12 y^2 - 8 y^4 ) e^2(1 - y^2)

Passo 11

Para $ y = \frac{\sqrt{2}}{2} $:
y = raiz22
E $ f_{xx} = -2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} e^{0.5} = -\sqrt{2} e^{0.5} <0 $
Então, ponto $ (0, \frac{\sqrt{2}}{2}) $ é um máximo local.
Para $ y = -\frac{\sqrt{2}}{2} $:
D = (12 cdot 24 -8 cdot 416) e^2(1 - 24) = (6 - 2) e^1 = 4 e >0
E $ f_{xx} = -2 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{0.5} = \sqrt{2} e^{0.5} >0 $
Então, ponto $ (0, -\frac{\sqrt{2}}{2}) $ é um mínimo local.

Passo 12

Conclusão: A função possui um ponto máximo local em $ (0, \frac{\sqrt{2}}{2}) $, um ponto mínimo local em $ (0, -\frac{\sqrt{2}}{2}) $, e não há pontos de sela.

Resposta

Os pontos críticos da função $ f(x, y) = y e^{1 - y^2 - x^2} $ são:
  • Máximo local em $ \left(0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) $
  • Mínimo local em $ \left(0, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) $
Não há pontos de sela.

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