Utilize a integral dupla para determinar o volume do sólido:
dentro de ambos o cilindro x^{2}+y^{2}=9 e a esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=16.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que satisfaz simultaneamente
x^{2}+y^{2}\le9
e
x^{2}+y^{2}+z^{2}\le16.
Este é um problema de volume via integral dupla em coordenadas cilíndricas, usando a ideia de que
V=\iint_{D}\bigl(z_{\text{top}}(x,y)-z_{\text{bot}}(x,y)\bigr)\,dA.

Passo 2

Dentro da projeção no plano xy temos o disco
D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le9\}.
Para cada (x,y)\in D, a esfera dá
z_{\text{top}}=\sqrt{16-(x^{2}+y^{2})} \quad\text{e}\quad z_{\text{bot}}=-\sqrt{16-(x^{2}+y^{2})}.
Logo
V=\iint_{D}2\sqrt{16-(x^{2}+y^{2})}\,dA.

Passo 3

Em coordenadas polares (\(x=r\cos\theta, y=r\sin\theta)) temos d\(A=r,dr,d\theta) e \(x^{2}+ y^{2}= r^{2}), assim
V=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{3}2\sqrt{16-r^{2}}\;r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Como o integrando não depende de \theta, separamos as integrais:
V =\Bigl(\int_{0}^{2\pi}d\theta\Bigr) \;\Bigl(\int_{0}^{3}2r\sqrt{16-r^{2}}\,dr\Bigr) =2\pi\;\bigl(2\!\int_{0}^{3}r\sqrt{16-r^{2}}\,dr\bigr) =4\pi\int_{0}^{3}r\sqrt{16-r^{2}}\,dr.

Passo 5

Para calcular
I=\int_{0}^{3}r\sqrt{16-r^{2}}\,dr
fazemos u\(=16- r^{2}), du=-2r\,dr, logo r\,dr=-\tfrac12du. Quando r\(=0), u\(=16), e quando r\(=3), u\(=7). Dá
I =\int_{u=16}^{7}\sqrt{u}\,\Bigl(-\tfrac12du\Bigr) =\tfrac12\int_{7}^{16}u^{1/2}\,du =\tfrac12\Bigl[\tfrac{2}{3}u^{3/2}\Bigr]_{7}^{16} =\tfrac{1}{3}\bigl(16^{3/2}-7^{3/2}\bigr) =\tfrac{1}{3}\bigl(64-7\sqrt7\bigr).

Passo 6

Substituindo em V\(=4\pi I) resulta
V =4\pi\cdot\tfrac{1}{3}\bigl(64-7\sqrt7\bigr) =\tfrac{4\pi}{3}\bigl(64-7\sqrt7\bigr) =\tfrac{256}{3}\pi-\tfrac{28}{3}\pi\sqrt7.

Resposta

V=\frac{4\pi}{3}\bigl(64-7\sqrt7\bigr) \quad\bigl(=\tfrac{256}{3}\pi-\tfrac{28}{3}\pi\sqrt7\bigr).

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