Determine se F é ou não um campo vetorial conservador. Se for, determine uma função (f) tal que (F)=(∇f).
F(x, y)=e^{x} sen y i+e^{x} sen y j

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial \mathbf{F}(x,y)=e^{x}\sin y\,\mathbf{i}+e^{x}\sin y\,\mathbf{j}
é conservador e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial f tal que \nabla f=\mathbf{F}. Em um domínio simplesmente conectado em \mathbb{R}^2, a condição necessária e suficiente de conservatividade é
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x},
onde P e Q são as componentes de \mathbf{F}.

Passo 2

Identificamos
P(x,y)=e^{x}\sin y \quad\text{e}\quad Q(x,y)=e^{x}\sin y.
Vamos calcular \frac{\partial P}{\partial y}:
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x}\sin y\bigr) =e^{x}\cos y.

Passo 3

Agora calculamos \frac{\partial Q}{\partial x}:
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x}\sin y\bigr) =e^{x}\sin y.

Passo 4

Como
\frac{\partial P}{\partial y}=e^{x}\cos y \quad\text{e}\quad \frac{\partial Q}{\partial x}=e^{x}\sin y,
vemos que
\frac{\partial P}{\partial y}\neq \frac{\partial Q}{\partial x}
em geral. Logo, o campo não satisfaz a condição de conservatividade.

Resposta

O campo \mathbf{F} não é conservador.

Exercícios relacionados