Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes: \int_{0}^{+\infty} \sin (t \pi) e^{-t} d t
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
I = \int_{0}^{+\infty} \sin(\pi t)\,e^{-t}\,dt.
O conteúdo envolvido é teste de convergência de integrais impróprias e cálculo de integrais envolvendo exponencial e seno (pode-se usar integração por partes ou fórmula de transformada de Laplace).
Passo 2
Para ver se a integral converge, note que \lvert \sin(\pi t)\rvert\le1, então