Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:
\int_{0}^{+\infty} \sin (t \pi) e^{-t} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
I = \int_{0}^{+\infty} \sin(\pi t)\,e^{-t}\,dt.
O conteúdo envolvido é teste de convergência de integrais impróprias e cálculo de integrais envolvendo exponencial e seno (pode-se usar integração por partes ou fórmula de transformada de Laplace).

Passo 2

Para ver se a integral converge, note que \lvert \sin(\pi t)\rvert\le1, então
\bigl\lvert \sin(\pi t)\,e^{-t}\bigr\rvert \le e^{-t},
e como
\int_{0}^{\infty} e^{-t}\,dt = 1 < \infty,
pela comparação I converge absolutamente.

Passo 3

Defina
I = \int_{0}^{\infty} e^{-t}\sin(\pi t)\,dt, \quad J = \int_{0}^{\infty} e^{-t}\cos(\pi t)\,dt.
Integre I por partes escolhendo u=\sin(\pi t), dv=e^{-t}dt. Isso leva a
I = \pi \,J.
De modo análogo, integrando J por partes com u=\cos(\pi t), dv=e^{-t}dt, obtém-se
J = 1 - \pi\,I.

Passo 4

Temos o sistema
I = \pi\,J, \quad J = 1 - \pi\,I.
Substituindo J em I:
I = \pi\,(1 - \pi\,I) \;\Longrightarrow\; I = \pi - \pi^2 I \;\Longrightarrow\; I\,(1+\pi^2)=\pi \;\Longrightarrow\; I = \frac{\pi}{1+\pi^2}.

Resposta

\int_{0}^{+\infty} \sin(\pi t)\,e^{-t}\,dt = \frac{\pi}{1+\pi^2}.

Exercícios relacionados