Utilize limitações e estimativas para calcular os limites abaixo.
(e) lim (x, y, z) (0,0,0) x y z raiz[3]x+z(x^2+y^2+z^2)^3 / 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve três variáveis: , e que estão se aproximando de zero. O que precisamos é usar limitações e estimativas para descobrir o valor desse limite. Vamos precisar entender um pouco sobre como comparar o numerador e o denominador para ver como eles se comportam quando , e ficam bem pequenos.

Passo 2

Primeiro, olhando a função que temos:
lim (x, y, z) (0,0,0) x y z raiz[3]x+z(x^2+y^2+z^2)^3 / 2
Vamos analisar o numerador e o denominador separadamente para estimar seus comportamentos.

Passo 3

No numerador, temos multiplicado por . Sabemos que quando , e estão próximos de zero, todos esses termos também são pequenos. A raiz cúbica de também será um número pequeno, já que e estão se aproximando de zero.

Passo 4

No denominador, temos . Isso pode ser reescrito como , o que significa que estamos elevando a soma dos quadrados de , e a uma potência maior, tornando o denominador ainda menor conforme , e se aproximam de zero.

Passo 5

Para facilitar, vamos usar uma substituição comum em limites com várias variáveis: seja . Quando , .

Passo 6

Reescrevendo a expressão em termos de x y z raiz[3]x+z(r^2)^3 / 2 = x y z raiz[3]x+zr^3 , temos:
Agora, vamos estimar o valor absoluto dessa expressão para aplicar a inequação de estimativa.

Passo 7

O valor absoluto fica:
| x y z raiz[3]x+zr^3 | <= |x| |y| |z| cdot |raiz[3]x+z|r^3
Sabemos que , , e , pois a raiz cúbica de um número pequeno também é pequeno.

Passo 8

Substituindo essas estimativas:
|x| |y| |z| cdot |raiz[3]x+z|r^3 <= r cdot r cdot r cdot r^1/3r^3 = r^3 + 1/3r^3 = r^1/3

Passo 9

Isso significa que:
| x y z raiz[3]x+zr^3 | <= r^1/3
E como , .

Passo 10

Pelo teorema do aperto (ou squeeze theorem), se um valor está “espremido” entre dois outros que convergem para o mesmo limite, ele próprio converge para esse limite. Aqui, nosso limite está “espremido” entre e , ambos tendendo a zero.

Resposta

O limite é igual a .

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