Utilize dois caminhos para mostrar que os limites abaixo não existem.
(b) lim (x, y) (0,0) x-y2 x+y.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o limite de duas variáveis
lim(x,y)to(0,0)x-y2x+y
não existe. Estamos trabalhando com limites em R^2 e, para provar a não existência, vamos escolher dois caminhos de aproximação ao ponto (0,0) e comparar os resultados.

Passo 2

Tomando o caminho y=0, substituímos em
x-y2x+y
para obter
x-02x+0=x2x=12
Ao deixar xto0, o valor da expressão fica sempre 1/2.

Passo 3

Agora escolhemos o caminho y=x. Substituindo em
x-y2x+y
vem
x-x2x+x=03x=0
Para xto0, o valor da expressão tende a 0.

Passo 4

Como nos dois caminhos obtivemos limites diferentes ( 1/2 e 0), concluímos que o limite original não existe.

Resposta

O limite não existe porque, em dois caminhos distintos, obtemos valores diferentes ( 1/2 e 0).

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