Utilize a linearização (ou aproximação linear) da função f(x, y)=x \sqrt{y-z^{2}} no ponto \mathrm{P}=(9,10,1) para aproximar o valor de 8.99 \times \sqrt{9.99-1.01^{3}}

Passo 1

O enunciado pede que eu use a linearização (aproximação linear) de uma função no ponto \mathrm{P}=(9,10,1) para aproximar o valor de 8.99\times\sqrt{9.99-1.01^{3}}. As informações relevantes que vou usar são:
  • Vou tratar a função como dependendo de três variáveis, ou seja \;f(x,y,z)=x\sqrt{y-z^{3}}\;, porque o ponto \mathrm{P} tem três coordenadas e o valor a aproximar contém 1{,}01^{3}. (Se interpretássemos z^{2} haveria incompatibilidade com o alvo 1{,}01^{3}.)
  • O ponto de desenvolvimento (ponto em que fazemos a linearização) é \mathrm{P}=(9,10,1).
  • O valor que queremos aproximar é exatamente f(8{,}99,\,9{,}99,\,1{,}01), visto que substituindo (x,y,z)=(8{,}99,9{,}99,1{,}01) em f obtemos 8{,}99\sqrt{9{,}99-1{,}01^{3}}.
  • Não vou perguntar nada: sigo com essa interpretação e aplico a aproximação linear em \mathrm{P}.

Passo 2

O que é a linearização? Vou explicar de forma simples: a linearização de uma função de três variáveis \;f(x,y,z)\; em torno de um ponto \;P=(x_{0},y_{0},z_{0})\; é a primeira aproximação (plano tangente) que usamos quando (x,y,z) está próximo de P. A fórmula é
L(x,y,z)=f(x_{0},y_{0},z_{0})+f_{x}(x_{0},y_{0},z_{0})\,(x-x_{0})+f_{y}(x_{0},y_{0},z_{0})\,(y-y_{0})+f_{z}(x_{0},y_{0},z_{0})\,(z-z_{0}).
Aqui:
  • f_{x} é a derivada parcial de f em relação a x (mantendo y,z fixos);
  • f_{y} é a derivada parcial em relação a y;
  • f_{z} é a derivada parcial em relação a z.
    A ideia prática: para pequenas diferenças \Delta x=x-x_{0}, \Delta y, \Delta z substituímos f(x,y,z)\approx L(x,y,z). É como aproximar uma curva por sua reta tangente, só que aqui é o plano tangente.

Passo 3

Calculo o valor da função no ponto \mathrm{P}=(9,10,1). Usando \;f(x,y,z)=x\sqrt{y-z^{3}}\;,
f(9,10,1)=9\sqrt{10-1^{3}}=9\sqrt{9}=9\cdot 3=27.
Isso será o termo constante da linearização.

Passo 4

Preciso das derivadas parciais. Vou derivar passo a passo e explicar a regra que uso:
  • Temos uma função produto x\cdot g(y,z) com g(y,z)=\sqrt{y-z^{3}}=(y-z^{3})^{1/2}.
  • Derivada parcial em relação a x: aqui g é tratada como constante, então
f_{x}(x,y,z)=\sqrt{y-z^{3}}.
  • Derivada parcial em relação a y: uso a regra da cadeia para g(y,z)=(y-z^{3})^{1/2}. A derivada de u^{1/2} em relação a u é \tfrac{1}{2}u^{-1/2}. Como u=y-z^{3} tem derivada em relação a y igual a 1, obtemos
f_{y}(x,y,z)=x\cdot\frac{1}{2}(y-z^{3})^{-1/2}=\frac{x}{2\sqrt{y-z^{3}}}.
  • Derivada parcial em relação a z: novamente regra da cadeia. u=y-z^{3} tem derivada em relação a z igual a -3z^{2}. Assim
f_{z}(x,y,z)=x\cdot\frac{1}{2}(y-z^{3})^{-1/2}\cdot(-3z^{2})=-\frac{3xz^{2}}{2\sqrt{y-z^{3}}}.
Essas fórmulas dizem como a função muda quando mudamos só uma das variáveis, mantendo as outras fixas.

Passo 5

Agora avalio as parciais no ponto \mathrm{P}=(9,10,1). Primeiro já tínhamos \sqrt{10-1^{3}}=\sqrt{9}=3.
  • f_{x}(9,10,1)=\sqrt{10-1^{3}}=3.
  • f_{y}(9,10,1)=\frac{9}{2\cdot 3}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}=1{,}5.
  • f_{z}(9,10,1)=-\frac{3\cdot 9\cdot 1^{2}}{2\cdot 3}=-\frac{27}{6}=-4{,}5.

Passo 6

Calculo as pequenas diferenças entre o ponto onde queremos avaliar e o ponto de desenvolvimento:
\Delta x=8{,}99-9=-0{,}01,\qquad \Delta y=9{,}99-10=-0{,}01,\qquad \Delta z=1{,}01-1=0{,}01.

Passo 7

Agora monto a linearização e calculo a aproximação:
L(8{,}99,9{,}99,1{,}01)=f(9,10,1)+f_{x}(9,10,1)\,\Delta x+f_{y}(9,10,1)\,\Delta y+f_{z}(9,10,1)\,\Delta z.
Substituindo os valores que já calculei:
L=27+3\cdot(-0{,}01)+1{,}5\cdot(-0{,}01)+(-4{,}5)\cdot(0{,}01).
Faço as multiplicações uma a uma:
3\cdot(-0{,}01)=-0{,}03,\quad 1{,}5\cdot(-0{,}01)=-0{,}015,\quad -4{,}5\cdot 0{,}01=-0{,}045.
Somando os incrementos:
-0{,}03-0{,}015-0{,}045=-0{,}09.
Portanto
L=27-0{,}09=26{,}91.

Passo 8

Interpretação rápida: a aproximação linear diz que 8{,}99\sqrt{9{,}99-1{,}01^{3}}\approx 26{,}91. As variações eram muito pequenas ( \pm 0{,}01), então a aproximação pelo plano tangente costuma ser bastante boa. Se você quiser estimar o erro, poderíamos usar termos de segunda ordem (hessiana), mas para o objetivo de prova a aproximação linear é suficiente.

Resposta

26{,}91

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