Utilize a linearização (ou aproximação linear) da função
no ponto
para aproximar o valor de
Passo 1
O enunciado pede que eu use a linearização (aproximação linear) de uma função no ponto
para aproximar o valor de
. As informações relevantes que vou usar são:
- Vou tratar a função como dependendo de três variáveis, ou seja
, porque o ponto tem três coordenadas e o valor a aproximar contém . (Se interpretássemos haveria incompatibilidade com o alvo .) - O ponto de desenvolvimento (ponto em que fazemos a linearização) é
. - O valor que queremos aproximar é exatamente
, visto que substituindo em obtemos . - Não vou perguntar nada: sigo com essa interpretação e aplico a aproximação linear em
.
Passo 2
O que é a linearização? Vou explicar de forma simples: a linearização de uma função de três variáveis
em torno de um ponto
é a primeira aproximação (plano tangente) que usamos quando
está próximo de
. A fórmula é
Aqui:
-
é a derivada parcial de em relação a (mantendo fixos); -
é a derivada parcial em relação a ; -
é a derivada parcial em relação a .
A ideia prática: para pequenas diferenças, , substituímos . É como aproximar uma curva por sua reta tangente, só que aqui é o plano tangente.
Passo 3
Calculo o valor da função no ponto
. Usando
,
Isso será o termo constante da linearização.
Passo 4
Preciso das derivadas parciais. Vou derivar passo a passo e explicar a regra que uso:
- Temos uma função produto
com . - Derivada parcial em relação a
: aqui é tratada como constante, então
- Derivada parcial em relação a
: uso a regra da cadeia para . A derivada de em relação a é . Como tem derivada em relação a igual a , obtemos
- Derivada parcial em relação a
: novamente regra da cadeia. tem derivada em relação a igual a . Assim
Essas fórmulas dizem como a função muda quando mudamos só uma das variáveis, mantendo as outras fixas.
Passo 5
Agora avalio as parciais no ponto
. Primeiro já tínhamos
.
Passo 6
Calculo as pequenas diferenças entre o ponto onde queremos avaliar e o ponto de desenvolvimento:
Passo 7
Agora monto a linearização e calculo a aproximação:
Substituindo os valores que já calculei:
Faço as multiplicações uma a uma:
Somando os incrementos:
Portanto
Passo 8
Interpretação rápida: a aproximação linear diz que
. As variações eram muito pequenas (
), então a aproximação pelo plano tangente costuma ser bastante boa. Se você quiser estimar o erro, poderíamos usar termos de segunda ordem (hessiana), mas para o objetivo de prova a aproximação linear é suficiente.