Utilize o método da bisseção para encontrar uma raiz aproximada da função, f(x)=x ln (x)-3.2 no intervalo [1,4].
Execute o método até 5 iterações. Considere arredondamento padrão e 4 casas decimais.

Passo 1

No primeiro passo, vamos resumir o problema: queremos aproximar a raiz de f(x)=xln(x)-3.2 no intervalo [1,4] usando o método da bisseção. Precisamos avaliar os sinais em a e b, calcular pontos médios c, verificar o sinal de f(c) e escolher o subintervalo que contém a raiz. Faremos 5 iterações e arredondaremos todos os valores a 4 casas decimais.

Passo 2

Calculamos as extremidades do intervalo:
f(1) = 1ln(1) - 3.2 = 0 - 3.2 = -3.2000
f(4) = 4ln(4) - 3.2 = 4 cdot 1.3863 - 3.2 = 5.5452 - 3.2 = 2.3452
Como f(1)<0 e f(4)>0, existe uma raiz em [1,4].

Passo 3

Iteração 1: ponto médio
c1 = 1.0000 + 4.00002 = 2.5000
Avaliando
f(2.5000) = 2.5000ln(2.5000) - 3.2 = 2.5000 cdot 0.9163 - 3.2 = 2.2907 - 3.2 = -0.9093
Como f(c1)<0, o novo intervalo é [2.5000, 4.0000].

Passo 4

Iteração 2: ponto médio
c2 = 2.5000 + 4.00002 = 3.2500
Avaliando
f(3.2500) = 3.2500ln(3.2500) - 3.2 = 3.2500 cdot 1.1787 - 3.2 = 3.8301 - 3.2 = 0.6301
Como f(c2)>0, o novo intervalo é [2.5000, 3.2500].

Passo 5

Iteração 3: ponto médio
c3 = 2.5000 + 3.25002 = 2.8750
Avaliando
f(2.8750) = 2.8750ln(2.8750) - 3.2 = 2.8750 cdot 1.0555 - 3.2 = 3.0343 - 3.2 = -0.1657
Como f(c3)<0, o novo intervalo é [2.8750, 3.2500].

Passo 6

Iteração 4: ponto médio
c4 = 2.8750 + 3.25002 = 3.0625
Avaliando
f(3.0625) = 3.0625ln(3.0625) - 3.2 = 3.0625 cdot 1.1190 - 3.2 = 3.4270 - 3.2 = 0.2270
Como f(c4)>0, o novo intervalo é [2.8750, 3.0625].

Passo 7

Iteração 5: ponto médio
c5 = 2.8750 + 3.06252 = 2.9688
Avaliando
f(2.9688) = 2.9688ln(2.9688) - 3.2 approx 2.9688 cdot 1.0882 - 3.2 = 3.2304 - 3.2 = 0.0304
Como fizemos 5 iterações, paramos aqui. O sinal de f(c5) indica que a raiz está em [2.8750, 2.9688].

Resposta

A aproximação da raiz após 5 iterações é 2.9688.

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