Utilize o método da bisseção para encontrar uma raiz da função, f(x)= 5 log (x)-2+0.4 x, no intervalo [1,3].
Determine o número de iterações necessárias para uma tolerância de 10^-3.

Passo 1

O exercício pede para achar uma raiz da função f(x)=5ln(x)-2+0.4x no intervalo [1,3] usando o método da bisseção com tolerância 10^-3. Vamos usar a teoria do método da bisseção, que garante redução do erro pela metade a cada iteração.

Passo 2

Primeiro, verificamos o teorema do valor intermediário para garantir que há raiz em [1,3]. Calculamos
f(1)=5ln(1)-2+0.4cdot1=0-2+0.4=-1.6,
f(3)=5ln(3)-2+0.4cdot3approx5(1.0986)-2+1.2approx4.693>0
Como f(1)<0< f(3), há pelo menos uma raiz no intervalo.

Passo 3

No método da bisseção o erro máximo após n iterações satisfaz
b-a2^n<=varepsilon
Aqui a=1, b=3 e varepsilon=10^-3.

Passo 4

Substituindo temos
3-12^n<=10^-3 Longrightarrow 22^n<=10^-3 Longrightarrow 2^n>=210^-3=2000
Tirando logaritmo de base 2,
n>=log2(2000)approx10.97

Passo 5

Como n deve ser inteiro e satisfazer a desigualdade, tomamos
n=11

Resposta

11 iterações

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