Utilize o método da bisseção para encontrar uma raiz aproximada da função, f(x)=x-sen(x^2)-1 no intervalo [0,2].
Determine o número de iterações necessárias para uma tolerância de 10^-3.

Passo 1

A questão pede para aproximar uma raiz da função f(x)=x-sin(x^2)-1 no intervalo [0,2] usando o método da bisseção e determinar quantas iterações são necessárias para obter precisão 10^-3. Vamos usar a teoria de bisseção e a fórmula de estimativa de erro.

Passo 2

Primeiro garantimos que há mudança de sinal em [0,2]: calculamos
f(0)=0-sin(0)-1=-1,
f(2)=2-sin(4)-1=1-sin4approx1-(-0.7568)=1.7568
Como f(0)cdot f(2)<0, existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 3

Para o método da bisseção, a largura do intervalo após n iterações é
Ln=b-a2^n
Queremos Ln<=10^-3, logo
22^n<=10^-3Longrightarrow2^n>=2000Longrightarrow n>=log2(2000)approx10.97
Portanto, são necessárias n=11 iterações para garantir que o erro seja menor que 10^-3.

Passo 4

Finalmente, aplicando 11 passos de bisseção (dividindo sucessivamente o intervalo ao meio e selecionando o subintervalo onde a função muda de sinal), obtemos a raiz aproximada
xapprox1.5855

Resposta

Número de iterações necessárias: 11
Raiz aproximada: x \approx 1.5855

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