Utilize o método da bisseção para encontrar uma raiz aproximada da função,
no intervalo [0.2, 2].
Execute o método até 5 iterações. Considere arredondamento padrão e 4 casas decimais.
Execute o método até 5 iterações. Considere arredondamento padrão e 4 casas decimais.
Passo 1
Vamos aplicar o método da bisseção para encontrar uma raiz de f(x)=x+ln(x) no intervalo [0.2,2]. O conteúdo é busca de raiz por bisseção: precisamos calcular f(a) e f(b) e garantir que tenham sinais opostos, depois iterar dividindo o intervalo ao meio.
Passo 2
Calculamos os extremos iniciais: a=0.2 e b=2. Avaliamos f(a) e f(b):
f(a)=0.2+ln(0.2)≈0.2−1.6094=−1.4094
f(b)=2+ln(2)≈2+0.6931=2.6931
Como f(a)·f(b)<0, há pelo menos uma raiz em [0.2,2].
f(a)=0.2+ln(0.2)≈0.2−1.6094=−1.4094
f(b)=2+ln(2)≈2+0.6931=2.6931
Como f(a)·f(b)<0, há pelo menos uma raiz em [0.2,2].
Passo 3
Iteração 1: calculamos o ponto médio m1=(a+b)/2. Isto é m1=(0.2+2)/2=1.1000. Avaliamos f(m1):
f(m1)=1.1+ln(1.1)≈1.1+0.0953=1.1953
Como f(a)<0 e f(m1)>0, a raiz fica em [0.2,1.1].
f(m1)=1.1+ln(1.1)≈1.1+0.0953=1.1953
Como f(a)<0 e f(m1)>0, a raiz fica em [0.2,1.1].
Passo 4
Iteração 2: novo a=0.2, b=1.1. Calculamos m2=(0.2+1.1)/2=0.6500. Avaliamos f(m2):
f(m2)=0.65+ln(0.65)≈0.65−0.4308=0.2192
Como f(a)<0 e f(m2)>0, a raiz está em [0.2,0.65].
f(m2)=0.65+ln(0.65)≈0.65−0.4308=0.2192
Como f(a)<0 e f(m2)>0, a raiz está em [0.2,0.65].
Passo 5
Iteração 3: agora a=0.2, b=0.65. Calculamos m3=(0.2+0.65)/2=0.4250. Avaliamos f(m3):
f(m3)=0.425+ln(0.425)≈0.425−0.8563=−0.4313
Como f(m3)<0 e f(b)>0, definimos a=0.425, b=0.65.
f(m3)=0.425+ln(0.425)≈0.425−0.8563=−0.4313
Como f(m3)<0 e f(b)>0, definimos a=0.425, b=0.65.
Passo 6
Iteração 4: a=0.425, b=0.65. Calculamos m4=(0.425+0.65)/2=0.5375. Avaliamos f(m4):
f(m4)=0.5375+ln(0.5375)≈0.5375−0.6209=−0.0834
Como f(m4)<0 e f(b)>0, o novo intervalo é [0.5375,0.65].
f(m4)=0.5375+ln(0.5375)≈0.5375−0.6209=−0.0834
Como f(m4)<0 e f(b)>0, o novo intervalo é [0.5375,0.65].
Passo 7
Iteração 5: a=0.5375, b=0.65. Calculamos m5=(0.5375+0.65)/2=0.5938. Avaliamos f(m5):
f(m5)=0.5938+ln(0.5938)≈0.5938−0.5218=0.0720
Como f(a)<0 e f(m5)>0, concluímos a aproximação da raiz como x≈0.5938 após 5 iterações.
f(m5)=0.5938+ln(0.5938)≈0.5938−0.5218=0.0720
Como f(a)<0 e f(m5)>0, concluímos a aproximação da raiz como x≈0.5938 após 5 iterações.
Resposta
0.5938