Utilize o Método da Bisseção para encontrar uma solução, disdinta de zero, com precisão de 10^{-3} para os problemas:
g(x)=2 x-e^{-x}

Passo 1

O enunciado pede aplicar o método da bisseção para achar uma raiz de g(x)=2x - e^{-x} (não trivial) com tolerância \epsilon=10^{-3}. Vamos precisar verificar a existência de uma raiz num intervalo inicial onde g muda de sinal, usar o critério de parada do método e iterar até que o erro seja menor que \epsilon.

Passo 2

Estudamos o sinal de g em pontos candidatos. Calculamos
g(0) = 2\cdot 0 - e^{0} = -1 < 0,
g(1) = 2\cdot 1 - e^{-1} = 2 - e^{-1} \approx 1{,}632 > 0.
Como g(0)\,g(1)<0, existe pelo Teorema de Bolzano pelo menos uma raiz em [0,1].

Passo 3

No método da bisseção, a cada iteração o intervalo [a_n,b_n] tem seu comprimento reduzido pela metade, e o erro máximo na aproximação \tfrac{a_n+b_n}2 satisfaz
\frac{b_n-a_n}{2} \le \epsilon.
Para [a_0,b_0]=[0,1] e \epsilon=10^{-3} precisamos de n tal que
\frac{1}{2^n} \le 10^{-3} \quad\Longrightarrow\quad n \ge \log_2(10^3) \approx 9{,}97,
portanto n=10 iterações.

Passo 4

Aplicando 10 iterações do método da bisseção em [0,1]:
  1. a_0=0,\;b_0=1,\;m_1=0{,}5,\;g(m_1)>0 \implies[0, 0{,}5].
  2. m_2=0{,}25,\;g(m_2)<0 \implies[0{,}25, 0{,}5].
  3. m_3=0{,}375,\;g(m_3)>0 \implies[0{,}25, 0{,}375].
  4. m_4=0{,}3125,\;g(m_4)<0 \implies[0{,}3125, 0{,}375].
  5. m_5=0{,}34375,\;g(m_5)<0 \implies[0{,}34375, 0{,}375].
  6. m_6=0{,}359375,\;g(m_6)>0 \implies[0{,}34375, 0{,}359375].
  7. m_7=0{,}3515625,\;g(m_7)<0 \implies[0{,}3515625, 0{,}359375].
  8. m_8=0{,}35546875,\;g(m_8)>0 \implies[0{,}3515625, 0{,}35546875].
  9. m_9=0{,}353515625,\;g(m_9)>0 \implies[0{,}3515625, 0{,}353515625].
  10. m_{10}=0{,}3525390625,\;g(m_{10})>0 \implies[0{,}3515625, 0{,}3525390625].
Após 10 iterações o intervalo final é [0{,}3515625,\;0{,}3525390625] com amplitude 9{,}76\times10^{-4}<10^{-3}. A aproximação final da raiz é o ponto médio desse intervalo:
x^* \approx \frac{0{,}3515625 + 0{,}3525390625}{2} = 0{,}35205078125.

Resposta

A raiz aproximada, distinta de zero, é x \approx 0{,}352 com precisão de 10^{-3}.

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