Utilize o método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular para
Determine uma solução particular para y^{\prime \prime}+4 y=x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma solução particular para a equação diferencial
y'' + 4y = x^2.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A equação é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • O termo do lado direito (forçamento) é o polinômio \,x^2, de grau 2.
  • A tarefa é apenas encontrar uma solução particular \,y_p (não é pedido resolver a geral, apenas a particular).

Passo 2

Como o enunciado pede explicitamente o método dos coeficientes a determinar (método das coeficientes não determinados), a ideia geral desse método é: suponho uma forma para \,y_p com coeficientes desconhecidos (compatível com o tipo do forçamento), derivamos, substituímos na equação e determinamos os coeficientes igualando termos iguais em potência/funcionalidade. Antes de escolher a forma inicial para \,y_p preciso verificar se há ressonância com a solução da homogênea (ou seja, se a forma escolhida é solução da equação homogênea); se houver ressonância, multiplico a tentativa por potências de \,x até remover a ressonância.

Passo 3

Encontrar a solução da equação homogênea associada para detectar ressonância:
y'' + 4y = 0.
A equação característica é
r^2 + 4 = 0,
cuja solução é
r = \pm 2i.
Logo a solução homogênea é
y_h = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x).
Observação importante: o forçamento \,x^2 é um polinômio, que não é da forma \cos(2x) nem \sin(2x). Portanto NÃO há ressonância entre o forçamento polinomial e as soluções da homogênea. Assim posso tentar uma solução particular que seja um polinômio de mesmo grau que o forçamento.

Passo 4

Proponho a forma para \,y_p igual a um polinômio de grau 2 com coeficientes a determinar:
y_p = Ax^2 + Bx + C,
onde \,A, \,B, \,C são constantes a determinar. Agora calculo as derivadas necessárias:
y_p' = 2Ax + B,
y_p'' = 2A.

Passo 5

Substituo \,y_p e \,y_p'' na equação dada:
y_p'' + 4y_p = 2A + 4(Ax^2 + Bx + C).
Faço a expansão:
2A + 4Ax^2 + 4Bx + 4C.
Coloco os termos em ordem de potências de \,x:
4A x^2 + 4B x + (2A + 4C).
Isto deve ser igual ao lado direito \,x^2, que podemos escrever como
1\cdot x^2 + 0\cdot x + 0.
Agora igualo coeficientes de potências correspondentes:
  • Coeficiente de x^2: \;4A = 1\;\Rightarrow\; A = \dfrac{1}{4}.
  • Coeficiente de x: \;4B = 0\;\Rightarrow\; B = 0.
  • Termo constante: \;2A + 4C = 0. Substituindo A=\dfrac{1}{4},
2\cdot \dfrac{1}{4} + 4C = 0 \quad\Rightarrow\quad \dfrac{1}{2} + 4C = 0 \quad\Rightarrow\quad 4C = -\dfrac{1}{2}.
Logo
C = -\dfrac{1}{8}.

Passo 6

Com os coeficientes encontrados A=\dfrac{1}{4}, B=0, C=-\dfrac{1}{8}, a solução particular é
y_p = \dfrac{1}{4}x^2 - \dfrac{1}{8}.
Verificação rápida (substituição): \,y_p'' = 2A = 2\cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}. E
4y_p = 4\Big(\dfrac{1}{4}x^2 - \dfrac{1}{8}\Big) = x^2 - \dfrac{1}{2}.
Somando,
y_p'' + 4y_p = \dfrac{1}{2} + \Big(x^2 - \dfrac{1}{2}\Big) = x^2,
confirma que \,y_p é de fato uma solução particular.

Passo 7

Dica prática para prova: quando o forçamento for um polinômio de grau n, tente um polinômio de grau n. Se houver ressonância (a forma tentada fizer parte da solução homogênea), multiplique a tentativa por x, ou por x^k se a multiplicidade assim o exigir. Por exemplo, se o forçamento fosse \cos(2x) aqui, como \cos(2x) pertence à solução homogênea, a tentativa seria y_p = x(A\cos(2x)+B\sin(2x)).

Resposta

y_p = \dfrac{1}{4}x^2 - \dfrac{1}{8}

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