Utilize o método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular para
Determine uma solução particular para
.
Determine uma solução particular para
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma solução particular para a equação diferencial
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A equação é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
- O termo do lado direito (forçamento) é o polinômio
, de grau 2. - A tarefa é apenas encontrar uma solução particular
(não é pedido resolver a geral, apenas a particular).
Passo 2
Como o enunciado pede explicitamente o método dos coeficientes a determinar (método das coeficientes não determinados), a ideia geral desse método é: suponho uma forma para
com coeficientes desconhecidos (compatível com o tipo do forçamento), derivamos, substituímos na equação e determinamos os coeficientes igualando termos iguais em potência/funcionalidade. Antes de escolher a forma inicial para
preciso verificar se há ressonância com a solução da homogênea (ou seja, se a forma escolhida é solução da equação homogênea); se houver ressonância, multiplico a tentativa por potências de
até remover a ressonância.
Passo 3
Encontrar a solução da equação homogênea associada para detectar ressonância:
A equação característica é
cuja solução é
Logo a solução homogênea é
Observação importante: o forçamento
é um polinômio, que não é da forma
nem
. Portanto NÃO há ressonância entre o forçamento polinomial e as soluções da homogênea. Assim posso tentar uma solução particular que seja um polinômio de mesmo grau que o forçamento.
Passo 4
Proponho a forma para
igual a um polinômio de grau 2 com coeficientes a determinar:
onde
,
,
são constantes a determinar. Agora calculo as derivadas necessárias:
Passo 5
Substituo
e
na equação dada:
Faço a expansão:
Coloco os termos em ordem de potências de
:
Isto deve ser igual ao lado direito
, que podemos escrever como
Agora igualo coeficientes de potências correspondentes:
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - Termo constante:
Substituindo ,
Logo
Passo 6
Com os coeficientes encontrados
,
,
, a solução particular é
Verificação rápida (substituição):
. E
Somando,
confirma que
é de fato uma solução particular.
Passo 7
Dica prática para prova: quando o forçamento for um polinômio de grau
, tente um polinômio de grau
. Se houver ressonância (a forma tentada fizer parte da solução homogênea), multiplique a tentativa por
, ou por
se a multiplicidade assim o exigir. Por exemplo, se o forçamento fosse
aqui, como
pertence à solução homogênea, a tentativa seria
.