Utilize o método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular para
y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=4 e^{3 x}.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma solução particular para a equação diferencial
y''-3y'+2y=4e^{3x}.
Informações dadas e relevantes:
  • É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • O termo não-homogêneo (forçamento) é 4e^{3x}, uma função exponencial.
  • Não foram pedidas condições iniciais — só queremos uma solução particular y_p(x) que satisfaça a equação.

Passo 2

Explicação do método dos coeficientes a determinar (mini-aula prática):
  • Para uma equação linear com coeficientes constantes cujo lado direito é um tipo simples (polinômio, exponencial, cosseno/seno ou produto desses), a ideia é “chutar” uma forma para y_p(x) parecida com o forçamento, mas com constantes desconhecidas que vamos ajustar.
  • Regra prática: se o forçamento for P(x)e^{\alpha x}\cos(\beta x) ou P(x)e^{\alpha x}\sin(\beta x), usamos como chute um polinômio do mesmo grau que P(x) multiplicando e^{\alpha x} vezes uma combinação de \cos(\beta x) e \sin(\beta x). Se o chute for solução da homogênea, multiplicamos por x^s, onde s é a multiplicidade do valor r=\alpha+\mathrm{i}\beta como raiz do polinômico característico.
  • Aqui o forçamento é simplesmente 4e^{3x}. Então o chute natural é
y_p(x)=A e^{3x},
onde A é uma constante a determinar, a menos que e^{3x} seja solução da homogênea (ressonância). Vamos checar a homogênea para ver se há ressonância.
Resolvendo a homogênea associada:
y''-3y'+2y=0
fazendo a substituição y=e^{rx} dá a equação característica
r^2-3r+2=0.
Resolvendo:
r^2-3r+2=(r-1)(r-2)=0,
logo as raízes são r=1 e r=2. Isso significa que as soluções homogêneas são combinações de e^{x} e e^{2x}. Como 3 não é raiz da equação característica, não há ressonância com e^{3x}. Portanto o chute y_p(x)=A e^{3x} é adequado (não precisamos multiplicar por x).

Passo 3

Determinar a constante A substituindo o chute na equação:
Calcule as derivadas de y_p:
y_p(x)=A e^{3x},
y_p'(x)=3A e^{3x},
y_p''(x)=9A e^{3x}.
Substituindo na equação y''-3y'+2y=4e^{3x}:
9A e^{3x}-3(3A e^{3x})+2(A e^{3x})=4e^{3x}.
Simplifique o lado esquerdo fatorando e^{3x}:
(9A-9A+2A)e^{3x}=4e^{3x}.
Compute 9A-9A+2A=2A, então
2A e^{3x}=4e^{3x}.
Como e^{3x} nunca é zero, podemos cancelar e^{3x} e obter a equação para A:
2A=4 \quad\Rightarrow\quad A=2.

Passo 4

Concluímos que a constante determinada é A=2. Portanto uma solução particular é
y_p(x)=2e^{3x}.
Breve comentário final (útil para a prova): se o forçamento tivesse sido 4e^{2x} ou 4e^{x}, aí e^{2x} ou e^{x} seria solução da homogênea e deveríamos multiplicar o chute por x (por exemplo y_p=Ax e^{2x} no caso de e^{2x}) — isso é a tal "regra do multiplicador por x^s".

Resposta

y_p(x)=2e^{3x}

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