Utilize o método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular para
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma solução particular para a equação diferencial
Informações dadas e relevantes:
- É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
- O termo não-homogêneo (forçamento) é
, uma função exponencial. - Não foram pedidas condições iniciais — só queremos uma solução particular
que satisfaça a equação.
Passo 2
Explicação do método dos coeficientes a determinar (mini-aula prática):
- Para uma equação linear com coeficientes constantes cujo lado direito é um tipo simples (polinômio, exponencial, cosseno/seno ou produto desses), a ideia é “chutar” uma forma para
parecida com o forçamento, mas com constantes desconhecidas que vamos ajustar. - Regra prática: se o forçamento for
ou , usamos como chute um polinômio do mesmo grau que multiplicando vezes uma combinação de e . Se o chute for solução da homogênea, multiplicamos por , onde é a multiplicidade do valor como raiz do polinômico característico. - Aqui o forçamento é simplesmente
. Então o chute natural é
onde
é uma constante a determinar, a menos que
seja solução da homogênea (ressonância). Vamos checar a homogênea para ver se há ressonância.
Resolvendo a homogênea associada:
fazendo a substituição
dá a equação característica
Resolvendo:
logo as raízes são
e
. Isso significa que as soluções homogêneas são combinações de
e
. Como
não é raiz da equação característica, não há ressonância com
. Portanto o chute
é adequado (não precisamos multiplicar por
).
Passo 3
Determinar a constante
substituindo o chute na equação:
Calcule as derivadas de
:
Substituindo na equação
:
Simplifique o lado esquerdo fatorando
:
Compute
, então
Como
nunca é zero, podemos cancelar
e obter a equação para
:
Passo 4
Concluímos que a constante determinada é
. Portanto uma solução particular é
Breve comentário final (útil para a prova): se o forçamento tivesse sido
ou
, aí
ou
seria solução da homogênea e deveríamos multiplicar o chute por
(por exemplo
no caso de
) — isso é a tal "regra do multiplicador por
".