Utilize o método dos Coeficientes Indeterminados para resolver as EDO’s a seguir.
y^prime prime+2 y^prime+5 y=3 sen 2 t;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
y'' + 2y' + 5y = 3sin(2t)
usando o método dos coeficientes indeterminados. Vamos precisar encontrar primeiro a solução da equação homogênea associada e depois propor um “chute” (ansatz) para a solução particular.

Passo 2

A equação homogênea é
y'' + 2y' + 5y = 0
e sua equação característica é
lambda^2 + 2lambda + 5 = 0
As raízes são
lambda = -1 pm 2i,
logo a solução homogênea é
yh(t) = e^-tl(C1cos(2t) + C2sin(2t)r)

Passo 3

Como o termo não-homogêneo é 3sin(2t) e 2i não é raiz da característica, propomos
yp(t) = Acos(2t) + Bsin(2t)
Calculamos as derivadas:
yp'(t) = -2Asin(2t) + 2Bcos(2t),
yp''(t) = -4Acos(2t) - 4Bsin(2t)
Substituindo em y''+2y'+5y temos
(-4Acos2t -4Bsin2t) +2(-2Asin2t+2Bcos2t) +5(Acos2t+Bsin2t) =3sin2t

Passo 4

Agrupando coeficientes de
Da primeira equação (A=-4B]. Substituindo na segunda:
Logo

Passo 5

A solução geral da EDO é a soma da parte homogênea com a particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = e^-tl(C1cos(2t)+C2sin(2t)r) -tfrac1217cos(2t) + tfrac317sin(2t)

Resposta

boxedy(t)=e^-tl(C1cos(2t)+C2sin(2t)r)-1217cos(2t)+317sin(2t)

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