Utilize o método dos coeficientes indeterminados para resolver a equação y′′′−3y′′+3y′−y=t−4et.
Passo 1
Então, temos a equação diferencial $ y’’’ - 3y’’ + 3y’ - y = t - 4e^{t} $. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados para resolver essa equação. Esse método é útil quando o lado direito da equação (o termo não homogêneo) é uma combinação de funções que já conhecemos, como polinômios, exponenciais, senos e cossenos. Vamos precisar identificar a solução geral da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a parte não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, encontramos a equação característica, substituindo $ y = e^{rt} $:
Passo 3
Resolvendo a equação característica $ r^3 - 3r^2 + 3r - 1 = 0 $, percebemos que $ r = 1 $ é uma raiz, porque:
Então, podemos fatorar $ (r - 1) $ e obter:
Isso significa que temos uma raiz real tripla $ r = 1 $.
Passo 4
Com a raiz tripla $ r = 1 $, a solução geral da equação homogênea é:
Onde $ C_1, C_2, C_3 $ são constantes que determinaremos com condições iniciais (se forem dadas).
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_p(t) $ para a equação completa:
Observamos que o lado direito tem dois termos: um polinômio de primeiro grau $ t $ e um termo exponencial $ e^{t} $.
Passo 6
Começamos encontrando a solução particular para o termo polinomial $ t $.
Assumimos uma solução na forma:
Onde $ A $ e $ B $ são coeficientes a serem determinados.
Passo 7
Calculamos as derivadas de $ y_{p1}(t) $:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Passo 8
Igualando os coeficientes dos termos semelhantes:
Para $ t $:
Para $ t $:
Para os termos constantes:
Então, a solução particular para o termo polinomial é:
Passo 9
Agora, encontramos a solução particular para o termo exponencial $ -4e^{t} $.
Inicialmente, assumimos uma solução na forma:
Onde $ C $ é um coeficiente a ser determinado.
Passo 10
No entanto, observamos que $ e^{t} $ já está presente na solução homogênea. Quando isso acontece, multiplicamos nossa suposição por $ t $ para tornar a solução particular independente.
Então, assumimos:
Passo 11
Calculamos as derivadas de $ y_{p2}(t) $:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Percebi que houve um erro na hipótese inicial. Precisamos tentar uma forma mais completa para $ y_{p2}(t) $.
Passo 12
Vamos então assumir uma solução particular na forma:
Calculamos as derivadas:
Substituindo na equação original e simplificando, encontramos os coeficientes $ C $ e $ D $.
Após simplificação, obtemos:
Então, a solução particular para o termo exponencial é:
Passo 13
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e das soluções particulares encontradas:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C_1, C_2, C_3 $ são constantes determinadas pelas condições iniciais.