Um fazendeiro tem 200 bois, cada um pesando 300 Kg. Até agora ele gastou R
2,00 por dia para manter cada boi. Os bois aumentam de peso a uma razão de 1,5 Kg por dia. Seu preço de venda, hoje, é de R$ 18,00 o quilo, mas o preço cai 5 centavos por dia. Quantos dias deveria o fazendeiro aguardar para maximizar seu lucro?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um fazendeiro com 200 bois, cada um pesando 300 kg inicialmente. Ele já gastou R$380.000 para criar os bois. Além disso, ele vai gastar R$2 por dia para manter cada boi. Os bois estão engordando 1,5 kg por dia, e o preço de venda de cada quilo hoje é R$18, mas esse preço diminui 5 centavos por dia. Nosso objetivo aqui é descobrir quantos dias o fazendeiro deve esperar para vender os bois e assim maximizar o lucro. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra e cálculo para encontrar o ponto onde o lucro é maior.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis:
- $ d $: número de dias que o fazendeiro espera para vender os bois.
Agora, vamos calcular o peso de cada boi após $ d $ dias. Sabemos que cada boi ganha 1,5 kg por dia, então:
Passo 3
Vamos calcular o custo total até o dia $ d $. O fazendeiro já gastou R$380.000 e vai gastar R$2 por dia para cada um dos 200 bois. Então, o custo adicional por dia é:
Então, o custo total será:
Passo 4
Agora, vamos calcular a receita total após $ d $ dias. O preço por quilo hoje é R$18, mas cai 5 centavos por dia. Então, o preço por quilo no dia $ d $ será:
O peso de cada boi no dia $ d $ é $ 300 + 1,5d $ kg, e temos 200 bois. Então, a receita total será:
Passo 5
O lucro é a diferença entre a receita total e o custo total. Então, temos:
Substituindo as expressões que encontramos:
Passo 6
Para maximizar o lucro, precisamos encontrar o valor de $ d $ que faz com que o lucro seja o maior possível. Isso envolve derivar a função lucro em relação a $ d $ e encontrar onde a derivada é zero.
Vamos simplificar a expressão do lucro primeiro:
Vamos multiplicar os termos:
Passo 7
Agora, temos uma função quadrática para o lucro:
Para encontrar o valor de $ d $ que maximiza o lucro, usamos a fórmula do vértice da parábola:
Onde $ a = -15 $ e $ b = 2000 $:
Resposta
O fazendeiro deve aguardar aproximadamente 67 dias para maximizar seu lucro.