Um fazendeiro tem 200 bois, cada um pesando 300 Kg. Até agora ele gastou R 380.000,00 para criar os bois e continuará gastando Rá 2,00 por dia para manter cada boi. Os bois aumentam de peso a uma razão de 1,5 Kg por dia. Seu preço de venda, hoje, é de R$ 18,00 o quilo, mas o preço cai 5 centavos por dia. Quantos dias deveria o fazendeiro aguardar para maximizar seu lucro?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um fazendeiro com 200 bois, cada um pesando 300 kg inicialmente. Ele já gastou R$380.000 para criar os bois. Além disso, ele vai gastar R$2 por dia para manter cada boi. Os bois estão engordando 1,5 kg por dia, e o preço de venda de cada quilo hoje é R$18, mas esse preço diminui 5 centavos por dia. Nosso objetivo aqui é descobrir quantos dias o fazendeiro deve esperar para vender os bois e assim maximizar o lucro. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra e cálculo para encontrar o ponto onde o lucro é maior.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis:
  • $ d $: número de dias que o fazendeiro espera para vender os bois.
Agora, vamos calcular o peso de cada boi após $ d $ dias. Sabemos que cada boi ganha 1,5 kg por dia, então:
d

Passo 3

Vamos calcular o custo total até o dia $ d $. O fazendeiro já gastou R$380.000 e vai gastar R$2 por dia para cada um dos 200 bois. Então, o custo adicional por dia é:
d á
Então, o custo total será:
380.000 e vai gastar R

Passo 4

Agora, vamos calcular a receita total após $ d $ dias. O preço por quilo hoje é R$18, mas cai 5 centavos por dia. Então, o preço por quilo no dia $ d $ será:
d ç
O peso de cada boi no dia $ d $ é $ 300 + 1,5d $ kg, e temos 200 bois. Então, a receita total será:
18, mas cai 5 centavos por dia Então, o preço por quilo no dia

Passo 5

O lucro é a diferença entre a receita total e o custo total. Então, temos:
Lucro = Receita total - Custo total
Substituindo as expressões que encontramos:
Lucro = 200 times (300 + 1,5d) times (18 - 0,05d) - (380.000 + 400d)

Passo 6

Para maximizar o lucro, precisamos encontrar o valor de $ d $ que faz com que o lucro seja o maior possível. Isso envolve derivar a função lucro em relação a $ d $ e encontrar onde a derivada é zero.
Vamos simplificar a expressão do lucro primeiro:
d
Vamos multiplicar os termos:
d
Lucro = 200 times (300 + 1,5d) times (18 - 0,05d) - 380.000 - 400d
Lucro = 200 times [300 times 18 + 300 times (-0,05d) + 1,5d times 18 + 1,5d times (-0,05d)] - 380.000 - 400d
Lucro = 200 times [5400 - 15d + 27d - 0,075d^2] - 380.000 - 400d
Lucro = 200 times [5400 + 12d - 0,075d^2] - 380.000 - 400d

Passo 7

Agora, temos uma função quadrática para o lucro:
Lucro(d) = -15d^2 + 2.000d + 700.000
Para encontrar o valor de $ d $ que maximiza o lucro, usamos a fórmula do vértice da parábola:
d
Onde $ a = -15 $ e $ b = 2000 $:
d = -b2a

Resposta

O fazendeiro deve aguardar aproximadamente 67 dias para maximizar seu lucro.

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