Utilize o método de constantes a determinar para resolver:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas: é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e um termo não-homogêneo
. A tarefa é encontrar a solução geral
que satisfaça essa equação.
Passo 2
Primeiro vamos resolver a equação homogênea associada (ou seja, sem o termo à direita). A equação homogênea é
Para equações lineares com coeficientes constantes, procuramos soluções da forma
. Substituindo na homogênea obtemos a equação característica em
:
Essa equação vai nos dar os expoentes das soluções exponenciais.
Passo 3
Resolvendo a equação característica
usamos fatoração (é um quadrático simples). Procuramos dois números cujo produto é
e soma é
. Esses números são
e
, portanto
Assim as raízes são
Passo 4
Cada raiz distinta produz uma solução exponencial. Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias (determinaríamos se houvesse condições iniciais).
Passo 5
Agora vamos encontrar uma solução particular
da equação completa
Método: constantes a determinar (método dos coeficientes indeterminados). Ideia: como o termo não-homogêneo é uma combinação de senos e cossenos, tentamos um ansatz (palpite) para
da forma
onde
e
são constantes desconhecidas que vamos determinar. Explico por que: as derivadas de
e
fecham entre si, então ao substituir teremos uma combinação de
e
que igualaremos à direita.
Passo 6
Antes de substituir, verifiquemos se há ressonância: se
(ou seja, raízes
) fosse raiz da equação característica, precisaríamos multiplicar o ansatz por
. A equação característica tem raízes
e
, que não são
. Portanto não há ressonância e o ansatz
é adequado.
Passo 7
Calculemos as derivadas necessárias do ansatz. Para
temos
e
Aqui
e
são constantes (números), então derivam para zero.
Passo 8
Substituímos
,
e
no lado esquerdo da equação diferencial:
Agora agrupamos os termos de
e
separadamente.
Passo 9
Agrupando coeficientes de
e
:
coeficiente de :
coeficiente de
coeficiente de
:
Logo
Passo 10
Devemos igualar essa expressão ao lado direito
, ou seja
Como
e
são funções linearmente independentes, os coeficientes correspondentes devem ser iguais. Obtemos o sistema linear para
e
:
Passo 11
Resolvendo o sistema. Da segunda equação temos
Substituindo na primeira:
Então
Passo 12
Portanto a solução particular é
Passo 13
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:
onde
e
são constantes arbitrárias que seriam determinadas por condições iniciais, se dadas.