Utilize o método de constantes a determinar para resolver:
y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=10 cos (x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y''+y'-2y=10\cos(x).
Informações dadas: é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e um termo não-homogêneo 10\cos(x). A tarefa é encontrar a solução geral y(x) que satisfaça essa equação.

Passo 2

Primeiro vamos resolver a equação homogênea associada (ou seja, sem o termo à direita). A equação homogênea é
y''+y'-2y=0.
Para equações lineares com coeficientes constantes, procuramos soluções da forma y=e^{rx}. Substituindo na homogênea obtemos a equação característica em r:
r^2+r-2=0.
Essa equação vai nos dar os expoentes das soluções exponenciais.

Passo 3

Resolvendo a equação característica
r^2+r-2=0
usamos fatoração (é um quadrático simples). Procuramos dois números cujo produto é -2 e soma é 1. Esses números são 2 e -1, portanto
r^2+r-2=(r+2)(r-1)=0.
Assim as raízes são
r_1=1,\qquad r_2=-2.

Passo 4

Cada raiz distinta produz uma solução exponencial. Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea é
y_h(x)=C_1 e^{x}+C_2 e^{-2x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias (determinaríamos se houvesse condições iniciais).

Passo 5

Agora vamos encontrar uma solução particular y_p(x) da equação completa
y''+y'-2y=10\cos(x).
Método: constantes a determinar (método dos coeficientes indeterminados). Ideia: como o termo não-homogêneo é uma combinação de senos e cossenos, tentamos um ansatz (palpite) para y_p da forma
y_p(x)=A\cos(x)+B\sin(x),
onde A e B são constantes desconhecidas que vamos determinar. Explico por que: as derivadas de \cos e \sin fecham entre si, então ao substituir teremos uma combinação de \cos(x) e \sin(x) que igualaremos à direita.

Passo 6

Antes de substituir, verifiquemos se há ressonância: se e^{ix} (ou seja, raízes r=\pm i) fosse raiz da equação característica, precisaríamos multiplicar o ansatz por x. A equação característica tem raízes 1 e -2, que não são \pm i. Portanto não há ressonância e o ansatz \,A\cos x+B\sin x é adequado.

Passo 7

Calculemos as derivadas necessárias do ansatz. Para
y_p(x)=A\cos(x)+B\sin(x)
temos
y_p'(x)=-A\sin(x)+B\cos(x)
e
y_p''(x)=-A\cos(x)-B\sin(x).
Aqui A e B são constantes (números), então derivam para zero.

Passo 8

Substituímos y_p, y_p' e y_p'' no lado esquerdo da equação diferencial:
y_p''+y_p'-2y_p = \bigl(-A\cos x - B\sin x\bigr) + \bigl(-A\sin x + B\cos x\bigr) -2\bigl(A\cos x + B\sin x\bigr).
Agora agrupamos os termos de \cos x e \sin x separadamente.

Passo 9

Agrupando coeficientes de \cos x e \sin x:
coeficiente de \cos x:
(-A) + B + (-2A) = -3A + B.
coeficiente de \sin x:
(-B) + (-A) + (-2B) = -A -3B.
Logo
y_p''+y_p'-2y_p = \bigl(-3A+B\bigr)\cos x + \bigl(-A-3B\bigr)\sin x.

Passo 10

Devemos igualar essa expressão ao lado direito 10\cos x, ou seja
\bigl(-3A+B\bigr)\cos x + \bigl(-A-3B\bigr)\sin x = 10\cos x + 0\sin x.
Como \cos x e \sin x são funções linearmente independentes, os coeficientes correspondentes devem ser iguais. Obtemos o sistema linear para A e B:
\begin{cases} -3A+B=10,\\[4pt] -A-3B=0. \end{cases}]

Passo 11

Resolvendo o sistema. Da segunda equação temos
-A-3B=0\quad\Rightarrow\quad A=-3B.
Substituindo na primeira:
-3(-3B)+B=10\quad\Rightarrow\quad 9B+B=10\quad\Rightarrow\quad 10B=10\quad\Rightarrow\quad B=1.
Então
A=-3B=-3.

Passo 12

Portanto a solução particular é
y_p(x)=A\cos x + B\sin x = -3\cos x + \sin x.

Passo 13

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:
y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C_1 e^{x}+C_2 e^{-2x}-3\cos x+\sin x,
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias que seriam determinadas por condições iniciais, se dadas.

Resposta

y(x)=C_1 e^{x}+C_2 e^{-2x}-3\cos x+\sin x

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