Utilize o Método da Falsa Posição para aproximar uma raiz da equação
f(x)=x^{3}+2 x-5=0
com a=1 e b=2. Realize \mathbf{3} iterações e organize os resultados na tabela abaixo.
n
a_{n}
b_{n}
x_{n+1}
f\left(a_{n}\right)
f\left(b_{n}\right)
\left|x_{n+1}-x_{n}\right|
Passo 1
O enunciado pede: usar o Método da Falsa Posição (regula falsi) para aproximar uma raiz da equação
f(x)=x^{3}+2x-5=0
no intervalo inicial a=1 e b=2, realizando exatamente \mathbf{3} iterações e organizando os resultados na tabela fornecida.
Informações dadas:
A função: \;f(x)=x^{3}+2x-5.
Intervalo inicial: \;a=1,\;b=2.
Número de iterações a realizar: 3.
O que será entregue: para cada iteração será informado \;n,\;a_{n},\;b_{n},\;x_{n+1},\;f(a_{n}),\;f(b_{n}) e |x_{n+1}-x_{n}|.
Passo 2
O que é e como usar a Falsa Posição (fórmula e teste de sinal).
A ideia: aproximar a raiz por interseção da reta que liga os pontos (a_n,f(a_n)) e (b_n,f(b_n)) com o eixo x. Essa interseção é a nova aproximação x_{n+1}.
a_n e b_n são as extremidades do intervalo na iteração n.
f(a_n) e f(b_n) são os valores da função nesses pontos.
x_{n+1} é a nova aproximação calculada pela fórmula acima.
Critério para escolher o próximo intervalo:
Calcula-se f(x_{n+1}).
Se f(a_n)\cdot f(x_{n+1}) < 0 então a raiz está no intervalo [a_n,x_{n+1}]: toma-se a_{n+1}=a_n,\;b_{n+1}=x_{n+1}.
Se f(x_{n+1})\cdot f(b_n) < 0 então a raiz está no intervalo [x_{n+1},b_n]: toma-se a_{n+1}=x_{n+1},\;b_{n+1}=b_n.
Se f(x_{n+1})=0 então x_{n+1} é raiz exata (caso rara).
Índice e convenção adotada aqui (para ficar claro):
Vou iniciar com a_0=1,\;b_0=2 e com x_0=a_0=1 (isto só para poder computar |x_{1}-x_{0}| na primeira iteração). Em seguida faço as três iterações n=0,1,2 produzindo x_{1},x_{2},x_{3}. A tabela final terá três linhas (as três iterações).
Passo 3
Iteração n=0 (primeira iteração)
Dados iniciais:
a_0=1,\qquad b_0=2.
Avaliações da função:
f(a_0)=f(1)=1^{3}+2\cdot1-5=1+2-5=-2,
f(b_0)=f(2)=2^{3}+2\cdot2-5=8+4-5=7.
Observação: f(a_0) e f(b_0) têm sinais opostos, logo há pelo menos uma raiz em [1,2].