Utilize o Método da Falsa Posição para aproximar uma raiz da equação
f(x)=x^{3}+2 x-5=0
com a=1 e b=2. Realize \mathbf{3} iterações e organize os resultados na tabela abaixo.
n a_{n} b_{n} x_{n+1} f\left(a_{n}\right) f\left(b_{n}\right) \left|x_{n+1}-x_{n}\right|

Passo 1

O enunciado pede: usar o Método da Falsa Posição (regula falsi) para aproximar uma raiz da equação
f(x)=x^{3}+2x-5=0
no intervalo inicial a=1 e b=2, realizando exatamente \mathbf{3} iterações e organizando os resultados na tabela fornecida.
Informações dadas:
  • A função: \;f(x)=x^{3}+2x-5.
  • Intervalo inicial: \;a=1,\;b=2.
  • Número de iterações a realizar: 3.
O que será entregue: para cada iteração será informado \;n,\;a_{n},\;b_{n},\;x_{n+1},\;f(a_{n}),\;f(b_{n}) e |x_{n+1}-x_{n}|.

Passo 2

O que é e como usar a Falsa Posição (fórmula e teste de sinal).
  • A ideia: aproximar a raiz por interseção da reta que liga os pontos (a_n,f(a_n)) e (b_n,f(b_n)) com o eixo x. Essa interseção é a nova aproximação x_{n+1}.
  • Fórmula da Falsa Posição:
x_{n+1}=b_n-f(b_n)\,\frac{b_n-a_n}{f(b_n)-f(a_n)}.
Explicando cada símbolo:
  • a_n e b_n são as extremidades do intervalo na iteração n.
  • f(a_n) e f(b_n) são os valores da função nesses pontos.
  • x_{n+1} é a nova aproximação calculada pela fórmula acima.
Critério para escolher o próximo intervalo:
  • Calcula-se f(x_{n+1}).
  • Se f(a_n)\cdot f(x_{n+1}) < 0 então a raiz está no intervalo [a_n,x_{n+1}]: toma-se a_{n+1}=a_n,\;b_{n+1}=x_{n+1}.
  • Se f(x_{n+1})\cdot f(b_n) < 0 então a raiz está no intervalo [x_{n+1},b_n]: toma-se a_{n+1}=x_{n+1},\;b_{n+1}=b_n.
  • Se f(x_{n+1})=0 então x_{n+1} é raiz exata (caso rara).
Índice e convenção adotada aqui (para ficar claro):
  • Vou iniciar com a_0=1,\;b_0=2 e com x_0=a_0=1 (isto só para poder computar |x_{1}-x_{0}| na primeira iteração). Em seguida faço as três iterações n=0,1,2 produzindo x_{1},x_{2},x_{3}. A tabela final terá três linhas (as três iterações).

Passo 3

Iteração n=0 (primeira iteração)
Dados iniciais:
a_0=1,\qquad b_0=2.
Avaliações da função:
f(a_0)=f(1)=1^{3}+2\cdot1-5=1+2-5=-2,
f(b_0)=f(2)=2^{3}+2\cdot2-5=8+4-5=7.
Observação: f(a_0) e f(b_0) têm sinais opostos, logo há pelo menos uma raiz em [1,2].
Calculando x_{1} pela fórmula da Falsa Posição:
x_{1}=b_0-f(b_0)\frac{b_0-a_0}{f(b_0)-f(a_0)}=2-7\cdot\frac{2-1}{7-(-2)}=2-\frac{7}{9}=\frac{11}{9}.
Em decimal:
x_{1}=\frac{11}{9}\approx1,222222.
Avaliação de f(x_{1}) (cálculo exato e decimal):
f\!\left(\frac{11}{9}\right)=\left(\frac{11}{9}\right)^{3}+2\cdot\frac{11}{9}-5 =\frac{1331}{729}+\frac{22}{9}-5=\frac{1331+1782-3645}{729}=-\frac{532}{729}\approx-0,729766.
Como f(x_{1})<0 e f(b_0)>0, a raiz está em [x_{1},b_0]. Portanto:
a_{1}=x_{1}=\frac{11}{9},\qquad b_{1}=2.
Diferença entre aproximações (usando x_0=a_0=1):
|x_{1}-x_{0}|=\left|\frac{11}{9}-1\right|=\frac{2}{9}\approx0,222222.

Passo 4

Iteração n=1 (segunda iteração)
Dados:
a_1=\frac{11}{9}\approx1,222222,\qquad b_1=2.
Usamos f(a_1)=-\dfrac{532}{729} (já calculado) e f(b_1)=7.
Aplicando a fórmula:
x_{2}=b_1-f(b_1)\frac{b_1-a_1}{f(b_1)-f(a_1)} =2-7\cdot\frac{2-\tfrac{11}{9}}{7-(-\tfrac{532}{729})}.
Fazendo as contas racionais (mostrando a simplificação):
2-\tfrac{11}{9}= \tfrac{7}{9},\qquad 7-(-\tfrac{532}{729})=\tfrac{5635}{729},
x_{2}=2-7\cdot\frac{7/9}{5635/729}=2-7\cdot\frac{7}{9}\cdot\frac{729}{5635} =2-\frac{3969}{5635}=\frac{7301}{5635}.
Em decimal:
x_{2}=\frac{7301}{5635}\approx1,295652.
Agora f(x_{2}) (aproximação decimal suficiente para decidir o sinal):
f(x_{2})\approx -0,233712\quad(\text{o cálculo decimal direto dá esse valor aproximado}).áá
Como f(x_{2})<0 e f(b_1)=7>0, a raiz está em [x_{2},b_1]. Portanto:
a_{2}=x_{2}=\frac{7301}{5635},\qquad b_{2}=2.
Diferença entre aproximações:
|x_{2}-x_{1}|\approx1,295652-1,222222\approx0,073430.

Passo 5

Iteração n=2 (terceira iteração)
Dados:
a_2=\frac{7301}{5635}\approx1,295652,\qquad b_2=2,
com f(a_2)\approx-0,233712 e f(b_2)=7.
Aplicando a fórmula:
x_{3}=b_2-f(b_2)\frac{b_2-a_2}{f(b_2)-f(a_2)} =2-7\cdot\frac{2-1,295652}{7-(-0,233712)}.
Cálculo decimal passo a passo:
2-1,295652=0,704348,
7-(-0,233712)=7,233712,
7\cdot0,704348=4,930434,
\frac{4,930434}{7,233712}\approx0,681514,
x_{3}\approx2-0,681514\approx1,318486.
Avaliação de f(x_{3}) (aproximação decimal):
f(x_{3})\approx -0,07095.
Como f(x_{3})<0 e f(b_2)>0, o próximo intervalo seria [x_{3},b_2], mas como pedimos apenas 3 iterações paramos aqui.
Diferença entre aproximações:
|x_{3}-x_{2}|\approx1,318486-1,295652\approx0,022834.

Resposta

n=0,\;a_{0}=1,\;b_{0}=2,\;x_{1}=\dfrac{11}{9}\approx1,222222,\;f(a_{0})=-2,\;f(b_{0})=7,\;|x_{1}-x_{0}|=\dfrac{2}{9}\approx0,222222
n=1,\;a_{1}=\dfrac{11}{9}\approx1,222222,\;b_{1}=2,\;x_{2}=\dfrac{7301}{5635}\approx1,295652,\;f(a_{1})=-\dfrac{532}{729}\approx-0,729766,\;f(b_{1})=7,\;|x_{2}-x_{1}|\approx0,073430
n=2,\;a_{2}=\dfrac{7301}{5635}\approx1,295652,\;b_{2}=2,\;x_{3}\approx1,318486,\;f(a_{2})\approx-0,233712,\;f(b_{2})=7,\;|x_{3}-x_{2}|\approx0,022834

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