- Resolva cada equação diferencial separável.
(b)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial separável
Informações dadas:
- A equação relaciona a derivada de
com e . - Não há condição inicial fornecida, então a solução deve ser geral (constante de integração incluída).
O que é pedido: encontrar todas as soluçõesque satisfaçam a equação, incluindo soluções constantes possíveis.
Passo 2
Verificação de soluções constantes (caso especial que aparece às vezes): suponha que
seja constante, isto é
para todo
. Então
. Substituindo na equação,
Para isso ser verdade para todo
é necessário
, logo
. Conclusão:
é uma solução (solução trivial). Note que ao separar variáveis abaixo vamos dividir por
, portanto devemos tratar o caso
separadamente — já fizemos isso aqui.
Passo 3
Agora buscamos soluções não constantes, isto é
. A equação é separável porque os termos em
e em
aparecem multiplicativamente:
Se
podemos separar as variáveis dividindo por
e multiplicando por
:
Explicação rápida do método: “separar variáveis” significa reorganizar a equação para ter uma função só de
multiplicando
à esquerda e uma função só de
multiplicando
à direita, permitindo integrar cada lado em sua própria variável.
Passo 4
Integrar ambos os lados. Vamos integrar em
do lado esquerdo e em
do lado direito:
Calcule as integrais:
Reunindo e absorvendo constantes (subtraindo
para o outro lado) obtemos uma única constante
:
Passo 5
Resolver implicitamente para
. A partir de
multiplicamos por
:
Renomeando a constante
por
(constante arbitrária real), fica
Invertendo ambos os lados (lembrando que isso só vale onde o denominador for diferente de zero) obtemos a solução explícita
Observações importantes:
- A constante
é determinada por uma condição inicial, se houver. Por exemplo, se então . - Há singularidades (pontos onde a solução explode) quando
; nesses a solução tem assimptota vertical. - Não esqueça da solução constante
que não aparece ao dividir por .
Passo 6
Resumo do que fizemos e como aplicar na prova:
- Sempre verifique soluções constantes primeiro (substituir
na equação). - Separe variáveis: coloque todos os fatores com
junto ao e todos os fatores com junto ao . - Integre cada lado e trate a constante de integração com cuidado (pode-se juntar as constantes num só
). - Resolva algebricamente para
quando possível e observe o domínio (zeros do denominador geram singularidades). - Se houver condição inicial
, encaixe para obter .