1. Resolva cada equação diferencial separável.
(b) \frac{d y}{d x}=y^{2} x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial separável
\frac{d y}{d x}=y^{2}x.
Informações dadas:
  • A equação relaciona a derivada de y com x e y.
  • Não há condição inicial fornecida, então a solução deve ser geral (constante de integração incluída).
    O que é pedido: encontrar todas as soluções y(x) que satisfaçam a equação, incluindo soluções constantes possíveis.

Passo 2

Verificação de soluções constantes (caso especial que aparece às vezes): suponha que y seja constante, isto é y(x)=k para todo x. Então \dfrac{d y}{d x}=0. Substituindo na equação,
0 = k^{2}x\quad\text{para todo }x.
Para isso ser verdade para todo x é necessário k^{2}=0, logo k=0. Conclusão: y\equiv 0 é uma solução (solução trivial). Note que ao separar variáveis abaixo vamos dividir por y^{2}, portanto devemos tratar o caso y=0 separadamente — já fizemos isso aqui.

Passo 3

Agora buscamos soluções não constantes, isto é y(x)\not\equiv 0. A equação é separável porque os termos em y e em x aparecem multiplicativamente:
\frac{d y}{d x}=y^{2}x.
Se y\neq 0 podemos separar as variáveis dividindo por y^{2} e multiplicando por dx:
y^{-2}\,dy = x\,dx.
Explicação rápida do método: “separar variáveis” significa reorganizar a equação para ter uma função só de y multiplicando dy à esquerda e uma função só de x multiplicando dx à direita, permitindo integrar cada lado em sua própria variável.

Passo 4

Integrar ambos os lados. Vamos integrar em y do lado esquerdo e em x do lado direito:
\int y^{-2}\,dy = \int x\,dx.
Calcule as integrais:
\int y^{-2}\,dy = \int y^{-2}\,dy = -y^{-1} + C_{1},
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2} + C_{2}.
Reunindo e absorvendo constantes (subtraindo C_{2} para o outro lado) obtemos uma única constante C:
-\,\frac{1}{y} = \frac{x^{2}}{2} + C.

Passo 5

Resolver implicitamente para y. A partir de
-\,\frac{1}{y} = \frac{x^{2}}{2} + C
multiplicamos por -1:
\frac{1}{y} = -\frac{x^{2}}{2} - C.
Renomeando a constante -C por K (constante arbitrária real), fica
\frac{1}{y} = K - \frac{x^{2}}{2}.
Invertendo ambos os lados (lembrando que isso só vale onde o denominador for diferente de zero) obtemos a solução explícita
y(x)=\frac{1}{K-\dfrac{x^{2}}{2}}.
Observações importantes:
  • A constante K é determinada por uma condição inicial, se houver. Por exemplo, se y(0)=y_{0}\neq0 então K=\dfrac{1}{y_{0}}.
  • Há singularidades (pontos onde a solução explode) quando K-\dfrac{x^{2}}{2}=0; nesses x a solução tem assimptota vertical.
  • Não esqueça da solução constante y\equiv 0 que não aparece ao dividir por y^{2}.

Passo 6

Resumo do que fizemos e como aplicar na prova:
  • Sempre verifique soluções constantes primeiro (substituir y=k na equação).
  • Separe variáveis: coloque todos os fatores com y junto ao dy e todos os fatores com x junto ao dx.
  • Integre cada lado e trate a constante de integração com cuidado (pode-se juntar as constantes num só K).
  • Resolva algebricamente para y quando possível e observe o domínio (zeros do denominador geram singularidades).
  • Se houver condição inicial y(x_{0})=y_{0}, encaixe para obter K.

Resposta

y\equiv 0\n y(x)=\dfrac{1}{K-\dfrac{x^{2}}{2}}, onde K é constante arbitrária real (e o denominador não pode ser zero).

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