1. Resolva cada equação diferencial separável.
(a) \frac{d y}{d x}-20 x^{4} e^{-y}=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial separável dada. A equação é:
\frac{d y}{d x}-20 x^{4} e^{-y}=0.
O objetivo é encontrar a solução geral y(x) (ou seja, a família de soluções envolvendo uma constante arbitrária).

Passo 2

Primeiro vamos isolar o termo \dfrac{d y}{d x}. Somando 20x^{4}e^{-y} em ambos os lados obtemos:
\frac{d y}{d x}=20 x^{4} e^{-y}.
A ideia de uma equação separável é colocar todos os termos com y multiplicando d y e todos os termos com x multiplicando d x. Para isso multiplicamos ambos os lados por e^{y} (que é sempre positivo e, portanto, não anula nada):
e^{y}\frac{d y}{d x}=20 x^{4}.
Agora escrevemos na forma diferencial separada:
e^{y}\,d y=20 x^{4}\,d x.

Passo 3

Integramos os dois lados. Vou lembrar a regra básica de integração que usamos aqui:
  • \displaystyle\int e^{y}\,d y = e^{y} + C porque a derivada de e^{y} é e^{y}.
  • \displaystyle\int x^{n}\,d x = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C para n\neq -1.
Aplicando as integrais:
\int e^{y}\,d y = \int 20 x^{4}\,d x.
O lado esquerdo dá e^{y}. O lado direito dá 20\cdot \dfrac{x^{5}}{5}=4x^{5}. Incluímos uma constante de integração única C ao final (podemos juntar as constantes dos dois lados numa só), então:
e^{y}=4x^{5}+C.

Passo 4

Agora isolamos y. Como e^{y}>0, temos que a expressão à direita deve ser positiva no domínio considerado; mais sobre isso depois. Tomando logaritmo natural em ambos os lados:
y=\ln\!\bigl(4x^{5}+C\bigr).
Essa é a solução geral, válida onde 4x^{5}+C>0. A constante C é um número real arbitrário que será fixado por uma condição inicial, se houver.

Passo 5

Vamos checar rapidamente que a solução funciona (verificação):
Se \displaystyle y=\ln\!\bigl(4x^{5}+C\bigr), então
\frac{d y}{d x}=\frac{20x^{4}}{4x^{5}+C}.
Por outro lado,
20x^{4}e^{-y}=20x^{4}\cdot\frac{1}{e^{y}}=20x^{4}\cdot\frac{1}{4x^{5}+C}=\frac{20x^{4}}{4x^{5}+C},
que é exatamente \dfrac{d y}{d x}. Logo a solução está correta.

Resposta

y(x)=\ln\!\bigl(4x^{5}+C\bigr), com constante arbitrária C e domínio onde 4x^{5}+C>0.

Exercícios relacionados