- Resolva cada equação diferencial separável.
(a)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial separável dada. A equação é:
O objetivo é encontrar a solução geral
(ou seja, a família de soluções envolvendo uma constante arbitrária).
Passo 2
Primeiro vamos isolar o termo
. Somando
em ambos os lados obtemos:
A ideia de uma equação separável é colocar todos os termos com
multiplicando
e todos os termos com
multiplicando
. Para isso multiplicamos ambos os lados por
(que é sempre positivo e, portanto, não anula nada):
Agora escrevemos na forma diferencial separada:
Passo 3
Integramos os dois lados. Vou lembrar a regra básica de integração que usamos aqui:
-
porque a derivada de é . -
para .
Aplicando as integrais:
O lado esquerdo dá
. O lado direito dá
. Incluímos uma constante de integração única
ao final (podemos juntar as constantes dos dois lados numa só), então:
Passo 4
Agora isolamos
. Como
, temos que a expressão à direita deve ser positiva no domínio considerado; mais sobre isso depois. Tomando logaritmo natural em ambos os lados:
Essa é a solução geral, válida onde
. A constante
é um número real arbitrário que será fixado por uma condição inicial, se houver.
Passo 5
Vamos checar rapidamente que a solução funciona (verificação):
Se , então
Se
Por outro lado,
que é exatamente
. Logo a solução está correta.