Utilize o método de integração por partes para calcular as integrais indefinidas abaixo:
\int x^{7} \cdot \ln \left(16 x^{4}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int x^{7}\,\ln\bigl(16x^{4}\bigr)\,dx
usando o método de integração por partes. Esse método se baseia na fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du,
onde escolhemos partes da integral para simplificar o cálculo.

Passo 2

Observamos que o logaritmo é fácil de derivar e a potência de x é fácil de integrar. Portanto, fazemos
u = \ln\bigl(16x^{4}\bigr), \quad dv = x^{7}\,dx.
Para confirmar a derivada de u, note que
\ln\bigl(16x^{4}\bigr) = \ln(16) + 4\ln(x),
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\frac{d}{dx}\ln\bigl(16x^{4}\bigr) = 0 + \frac{4}{x} = \frac{4}{x}.

Passo 3

Calculamos agora
du = \frac{4}{x}\,dx, \qquad v = \int x^{7}\,dx = \frac{x^{8}}{8}.

Passo 4

Aplicando a fórmula de partes,
\int x^{7}\,\ln\bigl(16x^{4}\bigr)\,dx = u\,v - \int v\,du = \frac{x^{8}}{8}\,\ln\bigl(16x^{4}\bigr) - \int \frac{x^{8}}{8}\,\frac{4}{x}\,dx.
Dentro da integral restante,
\frac{x^{8}}{8}\,\frac{4}{x} = \frac{4\,x^{8}}{8\,x} = \frac{x^{7}}{2},
então
\int v\,du = \int \frac{x^{7}}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int x^{7}\,dx.

Passo 5

Calculamos a integral simples:
\frac{1}{2}\int x^{7}\,dx = \frac{1}{2}\,\frac{x^{8}}{8} = \frac{x^{8}}{16}.
Substituindo de volta, obtemos
\int x^{7}\,\ln\bigl(16x^{4}\bigr)\,dx = \frac{x^{8}}{8}\,\ln\bigl(16x^{4}\bigr) - \frac{x^{8}}{16} + C.

Resposta

\frac{x^{8}}{8}\,\ln\bigl(16x^{4}\bigr) - \frac{x^{8}}{16} + C.

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