Encontre uma raiz para a função, f(x)=x^6+6 x-8, no intervalo [-1,2]. Utilize o Método da Falsa Posição com 4 dígitos e arredondamento padrão em 5 iterações.

Passo 1

Temos a função f(x)=x^6+6x-8 e queremos encontrar uma raiz em [-1,2]. Calculamos os valores iniciais para confirmar a alternância de sinais:
f(-1)=(-1)^6+6(-1)-8=1-6-8=-13
f(2)=2^6+6cdot2-8=64+12-8=68
Como f(-1) e f(2) têm sinais opostos, há pelo menos uma raiz em [-1,2]. Vamos usar o método da falsa posição com arredondamento a 4 dígitos em 5 iterações.

Passo 2

Aplicamos a fórmula da falsa posição:
c=a,f(b)-b,f(a)f(b)-f(a)
Para a0=-1 e b0=2 temos:
c1=-1cdot68-2cdot(-13)68-(-13)=-0.5185185
Arredondando a 4 dígitos, c1=-0.5185. Em seguida:
f(c1)=(-0.5185)^6+6cdot(-0.5185)-8approx-11.0916
Como f(c1)<0 e f(2)>0, o novo intervalo é [a1,b1]=[-0.5185,2].

Passo 3

Para a1=-0.5185 e b1=2 reaplicamos a fórmula:
c2=-0.5185cdot68-2cdot(-11.0916)68-(-11.0916)=-0.16558
Arredondando, c2=-0.1656. Calculamos:
f(c2)=(-0.1656)^6+6cdot(-0.1656)-8approx-8.9936
Como f(c2)<0, atualizamos para [a2,b2]=[-0.1656,2].

Passo 4

Com a2=-0.1656 e b2=2 temos:
c3=-0.1656cdot68-2cdot(-8.9936)68-(-8.9936)=0.087413
Arredondando, c3=0.0874. Em seguida:
f(c3)=(0.0874)^6+6cdot0.0874-8approx-7.4756
Como f(c3)<0, o intervalo vira [a3,b3]=[0.0874,2].

Passo 5

No quarto passo, com a3=0.0874 e b3=2 calculamos:
c4=0.0874cdot68-2cdot(-7.4756)68-(-7.4756)=0.276801
Arredondando, c4=0.2768. Então:
f(c4)=(0.2768)^6+6cdot0.2768-8approx-6.3388
Como ainda é negativo, o intervalo passa a ser [a4,b4]=[0.2768,2].

Passo 6

Na quinta iteração, com a4=0.2768 e b4=2 obtemos:
c5=0.2768cdot68-2cdot(-6.3388)68-(-6.3388)=0.423588
Arredondando, c5=0.4236. Finalmente:
f(c5)=(0.4236)^6+6cdot0.4236-8approx-5.4526
Após 5 iterações, a aproximação da raiz é estável em c5=0.4236.

Resposta

0.4236

Exercícios relacionados