Utilize o Método Iterativo Linear para encontrar o zero da função, f(x)= x^3-cos (x), no intervalo I=[0,2].
Execute o método até 5 iterações. Considere truncamento e 4 casas decimais.

Passo 1

Estamos buscando a raiz de f(x)=x^3-cos(x) no intervalo [0,2] usando o Método Iterativo Linear (iteração de ponto fixo). Vamos precisar definir uma função phi(x) tal que a solução de phi(x)=x seja a raiz de f e apicar o esquema xn+1=phi(xn), truncando a 4 casas decimais até 5 iterações.

Passo 2

Reescrevemos f(x)=0 como x=raiz[3]cos(x). Assim definimos
phi(x)=raiz[3]cos(x)
Para verificar a convergência, calculamos a derivada
phi'(x)=-sin(x)3l(cos(x)r)^2/3
Em [0,2], |sin(x)|<=1 e |cos(x)|^2/3 não fica muito pequeno perto da raiz (cerca de 0,65 no ponto de interesse), de modo que |phi'(x)|<1 localmente, garantindo convergência.

Passo 3

Escolhemos o chute inicial x0=1.0000, que fica dentro do intervalo. Em cada etapa usaremos
xn+1=phi(xn)
e truncaremos o resultado para 4 casas decimais.

Passo 4

Cálculo de x1:
x1=raiz[3]cos(1.0000)=raiz[3]0.540302ldotsapprox0.8144

Passo 5

Cálculo de x2:
x2=raiz[3]cos(0.8144)=raiz[3]0.686300ldotsapprox0.8820

Passo 6

Cálculo de x3:
x3=raiz[3]cos(0.8820)=raiz[3]0.635600ldotsapprox0.8598

Passo 7

Cálculo de x4:
x4=raiz[3]cos(0.8598)=raiz[3]0.652500ldotsapprox0.8676

Passo 8

Cálculo de x5:
x5=raiz[3]cos(0.8676)=raiz[3]0.647000ldotsapprox0.8649

Resposta

Aproximação da raiz após 5 iterações: 0.8649

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