Utilize o Método Iterativo Linear para encontrar o zero da função, f(x)= x^3+x-100, no intervalo I=[4,5].
Mostre a função g(x) e faça avaliação da derivada.

Passo 1

A função dada é f(x)=x^3+x-100 e queremos encontrar sua raiz no intervalo [4,5] usando o método iterativo linear (fixo). Vamos precisar reorganizar a equação em forma x=g(x) e checar se a iteração converge.

Passo 2

Para obter a forma de ponto fixo, isolamos x em f(x)=0:
x^3 + x - 100 = 0 x^3 = 100 - x x = raiz[3]100 - x
Então definimos
g(x) = raiz[3]100 - x

Passo 3

Agora calculamos a derivada de g(x):
g'(x) = ddxl((100 - x)^1/3r) = 13(100 - x)^-2/3cdot(-1) = -13(100 - x)^2/3

Passo 4

Para garantir convergência, avaliamos |g'(x)| no intervalo [4,5]. Nos extremos temos:
  • em x=4:
|g'(4)| = 13(100-4)^2/3 = 13cdot96^2/3 approx 0,016,
  • em x=5:
|g'(5)| = 13(100-5)^2/3 = 13cdot95^2/3 approx 0,0161
Como |g'(x)|<1 em todo o intervalo, a iteração converge.

Passo 5

Escolhemos a aproximação inicial x0=4,5 e iteramos xn+1=g(xn) até atingir precisão desejada. As primeiras iterações são:
  • x1 = g(4,5) = raiz[3]95,5 approx 4,5720
  • x2 = g(4,5720) approx 4,5714
  • x3 = g(4,5714) approx 4,5713
    A sequência já está praticamente estacionária em 4 casas decimais.

Passo 6

Concluímos que a raiz de f(x) no intervalo [4,5] aproximada pelo método do ponto fixo é cerca de 4 casas decimais estáveis.

Resposta

xapprox4,5713

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