Utilize o método de Jacobi para obter uma solução aproximada para os sistemas abaixo (verifique o critério de convergência antes de aplicar o método, se necessário reordene as equações para satisfazer o critério de convergência). Faça iterações até que d_{i}=\max _{1 \leq k \leq n}\left|x_{k}^{(i)}-x_{k}^{(i-1)}\right|<0,01.
\left\{\begin{array}{l}6 x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=2 \\\ x_{1}-x_{2}+x_{3}+7 x_{4}=2 \\\ x_{1}+5 x_{2}+x_{3}+2 x_{4}=15 \\\ x_{1}+x_{2}+6 x_{3}+x_{4}=-8\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o método de Jacobi ao sistema
\begin{cases} 6x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=2,\\\ x_{1}-x_{2}+x_{3}+7x_{4}=2,\\\ x_{1}+5x_{2}+x_{3}+2x_{4}=15,\\\ x_{1}+x_{2}+6x_{3}+x_{4}=-8, \end{cases}
iterando até que
d_{i}=\max_{1\le k\le4}\bigl|x_{k}^{(i)}-x_{k}^{(i-1)}\bigr|<0{,}01.
O conteúdo é o método iterativo de Jacobi, que converge se a matriz dos coeficientes for estritamente diagonal dominante por linhas. Se não for, precisamos reordenar as equações para atingir essa dominância.

Passo 2

Verificamos a dominância na ordem original:
  • Linha 1: |6|>1+1+1 OK.
  • Linha 2: |-1|<1+1+7 falha.
  • Linha 3: |1|<1+5+2 falha.
  • Linha 4: |1|<1+1+6 falha.
Para corrigir, permutamos as equações na ordem (1, 3, 4, 2). Assim obtenho o sistema permutado
\begin{cases} 6x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=2,\\\ x_{1}+5x_{2}+x_{3}+2x_{4}=15,\\\ x_{1}+x_{2}+6x_{3}+x_{4}=-8,\\\ x_{1}-x_{2}+x_{3}+7x_{4}=2, \end{cases}
cuja matriz é estritamente diagonal dominante em todas as linhas.

Passo 3

Isolando cada x_{j} em sua própria equação, as fórmulas de iteração de Jacobi ficam:
x_{1}^{(k+1)} =\frac{2 - x_{2}^{(k)} - x_{3}^{(k)} - x_{4}^{(k)}}{6},
x_{2}^{(k+1)} =\frac{15 - x_{1}^{(k)} - x_{3}^{(k)} - 2\,x_{4}^{(k)}}{5},
x_{3}^{(k+1)} =\frac{-8 - x_{1}^{(k)} - x_{2}^{(k)} - x_{4}^{(k)}}{6},
x_{4}^{(k+1)} =\frac{2 - x_{1}^{(k)} + x_{2}^{(k)} - x_{3}^{(k)}}{7}.

Passo 4

Escolhemos o chute inicial
x^{(0)} = (0,0,0,0).
Aplicando as fórmulas, obtemos rapidamente (apenas os resultados):
x^{(1)}=(0{,}333333,\;3,\;-1{,}333333,\;0{,}285714),
x^{(2)}\approx(0{,}0079365,\;3{,}085714,\;-1{,}936508,\;0{,}857143),
e o erro máximo
d_{2}=\max|x^{(2)}-x^{(1)}|\approx0{,}6032>0{,}01,
ainda acima da tolerância.

Passo 5

Continuamos até cumprir d_{i}<0{,}01. Eis os vetores e erros máximos:
x^{(3)}\approx(-0{,}001058,\;3{,}042857,\;-1{,}991799,\;1{,}002041),\quad d_{3}\approx0{,}1449,
x^{(4)}\approx(-0{,}008850,\;2{,}997755,\;-2{,}007307,\;1{,}005102),\quad d_{4}\approx0{,}0451,
x^{(5)}\approx(0{,}000742,\;3{,}001191,\;-1{,}999001,\;1{,}002000),\quad d_{5}\approx0{,}0096<0{,}01.

Resposta

Aproximação final pelo método de Jacobi (critério <0{,}01) é
x_{1}\approx0{,}00074,\quad x_{2}\approx3{,}00119,\quad x_{3}\approx-1{,}99900,\quad x_{4}\approx1{,}00200.

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