Utilize o método de Jacobi para obter uma solução aproximada para os sistemas abaixo (verifique o critério de convergência antes de aplicar o método, se necessário reordene as equações para satisfazer o critério de convergência). Faça iterações até que d_{i}=\max _{1 \leq k \leq n}\left|x_{k}^{(i)}-x_{k}^{(i-1)}\right|<0,01.
\left\{\begin{array}{l}x-2 y+5 z=-70 \\\\ 3 y+z=35 \\\\ 7 x+2 y+z=90\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para usar o método de Jacobi no sistema
\begin{cases} x - 2y + 5z = -70,\\\\ 3y + z = 35,\\\\ 7x + 2y + z = 90, \end{cases}
iterando até que
d_{i} = \max_{1\le k\le 3}\bigl|x_k^{(i)} - x_k^{(i-1)}\bigr| < 0,01.
Antes de aplicar Jacobi, precisamos verificar o critério de convergência (dominância diagonal) e, se necessário, reordenar as equações.

Passo 2

Verificamos a dominância diagonal na forma original:
  • Equação 1: |1| < |{-2}|+|5| não domina,
  • Equação 2: |3| \ge 0+|1| domina,
  • Equação 3: |7| \ge |2|+|1| domina.
Para garantir dominância em todas, trocamos a equação 1 com a equação 3. O sistema fica:
\begin{cases} 7x + 2y + z = 90,\\\\ 3y + z = 35,\\\ x - 2y + 5z = -70, \end{cases}
que satisfaz
7 \ge 2+1,\quad 3 \ge 0+1,\quad 5 \ge 1+2.

Passo 3

Isolamos cada variável em função das iterações anteriores:
x^{(i)} = \frac{90 - 2\,y^{(i-1)} - z^{(i-1)}}{7},\quad y^{(i)} = \frac{35 - z^{(i-1)}}{3},\quad z^{(i)} = \frac{-70 - x^{(i-1)} + 2\,y^{(i-1)}}{5}.

Passo 4

Tomamos o chute inicial (x^{(0)},y^{(0)},z^{(0)})=(0,0,0) e iteramos:
i =1:
\displaystyle x^{(1)}=\frac{90}{7}\approx12{,}8571,\quad y^{(1)}=\frac{35}{3}\approx11{,}6667,\quad z^{(1)}=-14{,}0000, d_1=14{,}0000.
i =2:
\displaystyle x^{(2)}\approx11{,}5238,\quad y^{(2)}\approx16{,}3333,\quad z^{(2)}\approx-11{,}9047, d_2\approx4{,}6666.
i =3:
\displaystyle x^{(3)}\approx9{,}8912,\quad y^{(3)}\approx15{,}6349,\quad z^{(3)}\approx-9{,}7714, d_3\approx2{,}1333.
i =4:
\displaystyle x^{(4)}\approx9{,}7859,\quad y^{(4)}\approx14{,}9238,\quad z^{(4)}\approx-9{,}7243, d_4\approx0{,}7111.
i =5:
\displaystyle x^{(5)}\approx9{,}9824,\quad y^{(5)}\approx14{,}9081,\quad z^{(5)}\approx-9{,}9877, d_5\approx0{,}2634.
i =6:
\displaystyle x^{(6)}\approx10{,}0245,\quad y^{(6)}\approx14{,}9959,\quad z^{(6)}\approx-10{,}0332, d_6\approx0{,}0878.
i =7:
\displaystyle x^{(7)}\approx10{,}0059,\quad y^{(7)}\approx15{,}0111,\quad z^{(7)}\approx-10{,}0065, d_7\approx0{,}0267.
i =8:
\displaystyle x^{(8)}\approx9{,}9978,\quad y^{(8)}\approx15{,}0022,\quad z^{(8)}\approx-9{,}9967, d_8\approx0{,}0098<0{,}01, critério satisfeito.

Resposta

\displaystyle x\approx9{,}9978,\quad y\approx15{,}0022,\quad z\approx-9{,}9967.

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