1. (4 pontos) Calcule as seguintes integrais:
\int x^{5 / 2} \ln (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int x^{5/2}\ln(x)\,dx
O conteúdo principal aqui é integração por partes, cuja fórmula é
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos
u = \ln(x), \qquad dv = x^{5/2}\,dx.
Então
du = \frac{1}{x}\,dx.

Passo 3

Agora precisamos encontrar v:
v = \int x^{5/2}\,dx = \frac{x^{7/2}}{\tfrac{7}{2}} = \frac{2}{7}\,x^{7/2}.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int x^{5/2}\ln(x)\,dx = u\,v \;-\;\int v\,du = \frac{2}{7}x^{7/2}\ln(x) -\int \frac{2}{7}x^{7/2}\cdot\frac{1}{x}\,dx.

Passo 5

No segundo termo temos
\int \frac{2}{7}x^{7/2-1}\,dx = \frac{2}{7}\int x^{5/2}\,dx = \frac{2}{7}\cdot\frac{2}{7}x^{7/2} = \frac{4}{49}\,x^{7/2}.
Portanto, juntando tudo:
\int x^{5/2}\ln(x)\,dx = \frac{2}{7}x^{7/2}\ln(x) - \frac{4}{49}x^{7/2} + C.

Resposta

\int x^{5/2}\ln(x)\,dx = \frac{2}{7}x^{7/2}\ln(x) - \frac{4}{49}x^{7/2} + C.

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