Utilize o Método dos Mínimos Quadrados para ajustar a tabela de dados:
\boldsymbol{x} \boldsymbol{y}
-1 1
0 -1
1 2
2 3
Por uma reta.

Passo 1

O enunciado dá uma tabela com quatro pontos e pede ajustar por uma reta pelo Método dos Mínimos Quadrados. Vou listar claramente o que foi dado (peguei estes pontos da tabela enviada):
  • Pontos: (-1,1), (0,-1), (1,2), (2,3).
O que se pede:
  • Encontrar os coeficientes da reta ajustada \hat{y} = \beta_{0} + \beta_{1}x que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos.

Passo 2

Explicando a ideia do Método dos Mínimos Quadrados de forma direta: busca-se a reta \hat{y}=\beta_{0}+\beta_{1}x que minimiza a soma dos quadrados dos desvios entre os valores observados y_i e os valores preditos \hat{y}_i=\beta_{0}+\beta_{1}x_i. Definimos a função erro
S(\beta_{0},\beta_{1})=\sum_{i=1}^{n}\bigl(y_i-\beta_{0}-\beta_{1}x_i\bigr)^{2}.
Para minimizar S tomamos as derivadas parciais em relação a \beta_{0} e \beta_{1}, igualamos a zero e obtemos o sistema linear (equações normais).

Passo 3

Derivação das equações normais (passo-a-passo):
  • Calcula-se \dfrac{\partial S}{\partial \beta_{0}}=-2\sum_{i=1}^{n}\bigl(y_i-\beta_{0}-\beta_{1}x_i\bigr)=0.
  • Calcula-se \dfrac{\partial S}{\partial \beta_{1}}=-2\sum_{i=1}^{n}x_i\bigl(y_i-\beta_{0}-\beta_{1}x_i\bigr)=0.
Simplificando essas duas igualdades obtemos as equações normais:
\sum_{i=1}^{n} y_i = n\beta_{0} + \beta_{1}\sum_{i=1}^{n} x_i,
\sum_{i=1}^{n} x_i y_i = \beta_{0}\sum_{i=1}^{n} x_i + \beta_{1}\sum_{i=1}^{n} x_i^{2}.
Aqui:
  • n é o número de pontos;
  • \sum x_i, \sum y_i, \sum x_i^2, \sum x_i y_i são somas simples que calculamos a seguir.

Passo 4

Calcular as somas necessárias usando diretamente os pontos fornecidos:
  • n=4.
  • \displaystyle \sum x_i = (-1)+0+1+2 = 2.
  • \displaystyle \sum y_i = 1+(-1)+2+3 = 5.
  • \displaystyle \sum x_i^{2} = (-1)^{2}+0^{2}+1^{2}+2^{2} = 1+0+1+4 = 6.
  • \displaystyle \sum x_i y_i = (-1)\cdot 1 + 0\cdot(-1) + 1\cdot 2 + 2\cdot 3 = -1+0+2+6 = 7.

Passo 5

Escrever as equações normais com os valores das somas:
\sum y_i = n\beta_{0} + \beta_{1}\sum x_i \quad\Longrightarrow\quad 5 = 4\beta_{0} + 2\beta_{1},
\sum x_i y_i = \beta_{0}\sum x_i + \beta_{1}\sum x_i^{2} \quad\Longrightarrow\quad 7 = 2\beta_{0} + 6\beta_{1}.

Passo 6

Resolver o sistema linear para \beta_{0} e \beta_{1}. Reescrevendo:
4\beta_{0} + 2\beta_{1} = 5,
2\beta_{0} + 6\beta_{1} = 7.
Multiplico a segunda equação por 2 para eliminar \beta_{0} subtraindo:
4\beta_{0} + 12\beta_{1} = 14.
Subtraindo a primeira equação:
(4\beta_{0}+12\beta_{1})-(4\beta_{0}+2\beta_{1}) = 14-5 \quad\Longrightarrow\quad 10\beta_{1} = 9.
Logo
\beta_{1} = \frac{9}{10} = 0,9.

Passo 7

Agora encontro \beta_{0} substituindo \beta_{1} em uma das equações (uso a primeira):
4\beta_{0} + 2\cdot\frac{9}{10} = 5 \quad\Longrightarrow\quad 4\beta_{0} + \frac{18}{10} = 5.
Passo os termos:
4\beta_{0} = 5 - \frac{18}{10} = \frac{50}{10}-\frac{18}{10}=\frac{32}{10}=\frac{16}{5}.
Portanto
\beta_{0} = \frac{16}{5}\cdot\frac{1}{4}=\frac{16}{20}=\frac{4}{5}=0,8.

Passo 8

Conclusão: a reta ajustada pelos Mínimos Quadrados é
\hat{y}=\beta_{0}+\beta_{1}x=\frac{4}{5}+\frac{9}{10}x,
ou em forma decimal
\hat{y}=0,8+0,9x.
Para ver rapidamente como a reta se comporta nos pontos (checagem manual):
  • Em x=-1: \hat{y}=-0,1 (resíduo 1-(-0,1)=1,1).
  • Em x=0: \hat{y}=0,8 (resíduo -1-0,8=-1,8).
  • Em x=1: \hat{y}=1,7 (resíduo 2-1,7=0,3).
  • Em x=2: \hat{y}=2,6 (resíduo 3-2,6=0,4).
    A soma dos resíduos é zero (propriedade esperada) e a soma dos quadrados dos resíduos é \approx 4,70 (medida do ajuste).

Resposta

\hat{y}=\dfrac{4}{5}+\dfrac{9}{10}x

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