Utilize o Método dos Mínimos Quadrados para ajustar a tabela de dados:
-1
1
0
-1
1
2
2
3
Por uma reta.
|
|
|
| -1 | 1 |
| 0 | -1 |
| 1 | 2 |
| 2 | 3 |
Passo 1
O enunciado dá uma tabela com quatro pontos e pede ajustar por uma reta pelo Método dos Mínimos Quadrados. Vou listar claramente o que foi dado (peguei estes pontos da tabela enviada):
- Pontos:
, , , .
O que se pede:
- Encontrar os coeficientes da reta ajustada
que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos.
Passo 2
Explicando a ideia do Método dos Mínimos Quadrados de forma direta: busca-se a reta
que minimiza a soma dos quadrados dos desvios entre os valores observados
e os valores preditos
. Definimos a função erro
Para minimizar
tomamos as derivadas parciais em relação a
e
, igualamos a zero e obtemos o sistema linear (equações normais).
Passo 3
Derivação das equações normais (passo-a-passo):
- Calcula-se
. - Calcula-se
.
Simplificando essas duas igualdades obtemos as equações normais:
Aqui:
-
é o número de pontos; -
, , , são somas simples que calculamos a seguir.
Passo 4
Calcular as somas necessárias usando diretamente os pontos fornecidos:
-
. -
. -
. -
. -
.
Passo 5
Escrever as equações normais com os valores das somas:
Passo 6
Resolver o sistema linear para
e
. Reescrevendo:
Multiplico a segunda equação por
para eliminar
subtraindo:
Subtraindo a primeira equação:
Logo
Passo 7
Agora encontro
substituindo
em uma das equações (uso a primeira):
Passo os termos:
Portanto
Passo 8
Conclusão: a reta ajustada pelos Mínimos Quadrados é
ou em forma decimal
Para ver rapidamente como a reta se comporta nos pontos (checagem manual):
- Em
: (resíduo ). - Em
: (resíduo ). - Em
: (resíduo ). - Em
: (resíduo ).
A soma dos resíduos é zero (propriedade esperada) e a soma dos quadrados dos resíduos é(medida do ajuste).