Resolva a equação do calor ou da onda dada. Em todos os casos, assuma -\infty<x<\infty e t>0.
\left{ \begin{array}{l}u_{t t}=u_{x x} \\u(x, 0)=\frac{2}{10+5 x^{2}} \\u_{t}(x, 0)=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede que eu resolva a equação da onda
u_{t t}=u_{x x}
para -\infty<x<\infty e t>0, com as condições iniciais
u(x,0)=\frac{2}{10+5x^{2}},
u_{t}(x,0)=0.
Informações dadas:
  • A PDE é a equação da onda unidimensional com velocidade c=1.
  • A condição inicial de deslocamento é u(x,0)=\dfrac{2}{10+5x^{2}}.
  • A condição inicial de velocidade é u_{t}(x,0)=0.
    O que se pede: encontrar explicitamente u(x,t) para t>0 e todo x\in\mathbb{R}.

Passo 2

Método escolhido: fórmula de d’Alembert (método padrão para a equação da onda na reta inteira). Justificativa curta e tranquila: quando a equação é u_{tt}=c^{2}u_{xx} em -\infty<x<\infty a solução geral pode ser obtida usando variáveis características; para c=1 isso dá uma forma explícita muito simples (fácil de aplicar na prova). Vou mostrar por que a fórmula funciona e depois aplicá-la ao caso concreto.

Passo 3

Derivação (aula curta e direta) da forma de d’Alembert:
  • Defina p=x+t e q=x-t. Invertendo, x=(p+q)/2, t=(p-q)/2.
  • Usando a regra da cadeia obtém-se
\partial_{x}=\partial_{p}+\partial_{q},\qquad \partial_{t}=\partial_{p}-\partial_{q}.
  • Calculando segundas derivadas:
u_{xx}=u_{pp}+2u_{pq}+u_{qq},
u_{tt}=u_{pp}-2u_{pq}+u_{qq}.
  • Subtraindo, obtemos
u_{tt}-u_{xx}=-4u_{pq}.
Portanto u_{tt}=u_{xx} é equivalente a
u_{pq}=0.
  • A equação u_{pq}=0 diz que a derivada mista é zero, logo a solução geral é soma de duas funções de uma variável:
u(x,t)=F(p)+G(q)=F(x+t)+G(x-t),
onde F e G são funções a determinar pelas condições iniciais.
  • Aplique as condições iniciais. Defina f(x):=u(x,0) e g(x):=u_{t}(x,0). Em t=0 temos
F(x)+G(x)=f(x).
Derivando a expressão u(x,t)=F(x+t)+G(x-t) em t e avaliando em t=0,
u_{t}(x,0)=F'(x)-G'(x)=g(x).
  • A partir de F+G=f e F'-G'=g resolvemos para F e G. Uma forma prática (padrão) leva à fórmula de d’Alembert:
u(x,t)=\frac{1}{2}\bigl(f(x+t)+f(x-t)\bigr)+\frac{1}{2}\int_{x-t}^{\,x+t} g(s)\,ds.
Explicando: a primeira parte representa duas ondas que se deslocam sem mudar de forma (uma para a esquerda, outra para a direita); a segunda parte é a contribuição da velocidade inicial g acumulada entre x-t e x+t.

Passo 4

Agora aplico a fórmula ao caso concreto:
  • Identifico f(x)=\dfrac{2}{10+5x^{2}} e g(x)=0.
  • Como g\equiv 0, o termo integral desaparece:
\frac{1}{2}\int_{x-t}^{\,x+t}g(s)\,ds=0.
  • Portanto
u(x,t)=\frac{1}{2}\Bigl(f(x+t)+f(x-t)\Bigr).
  • Substituindo f:
u(x,t)=\frac{1}{2}\left(\frac{2}{10+5(x+t)^{2}}+\frac{2}{10+5(x-t)^{2}}\right).
  • Simplificando cada meia fração \tfrac{1}{2}\cdot 2=1, obtemos a forma final
u(x,t)=\frac{1}{10+5(x+t)^{2}}+\frac{1}{10+5(x-t)^{2}}.
Opcionalmente posso fatorar 5: u(x,t)=\dfrac{1}{5}\Bigl(\dfrac{1}{2+(x+t)^{2}}+\dfrac{1}{2+(x-t)^{2}}\Bigr), mas a forma acima já está boa para a prova.

Passo 5

Comentário final amigo: a solução é simplesmente a média das duas cópias deslocadas da condição inicial u(x,0). Como a velocidade inicial é zero, não há termo integral. Essa solução é pontual, explícita e está pronta para ser usada na prova — se quiser, dá pra verificar rapidamente que ela satisfaz a PDE e as condições iniciais diferenciando em x e t. Força aí — você já tem a técnica principal para problemas parecidos!

Resposta

u(x,t)=\frac{1}{10+5(x+t)^{2}}+\frac{1}{10+5(x-t)^{2}}

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