Resolva a equação do calor ou da onda dada. Em todos os casos, assuma
e
.
\left{
\right.
\left{
Passo 1
O enunciado pede que eu resolva a equação da onda
para
e
, com as condições iniciais
Informações dadas:
- A PDE é a equação da onda unidimensional com velocidade
. - A condição inicial de deslocamento é
. - A condição inicial de velocidade é
.
O que se pede: encontrar explicitamentepara e todo .
Passo 2
Método escolhido: fórmula de d’Alembert (método padrão para a equação da onda na reta inteira). Justificativa curta e tranquila: quando a equação é
em
a solução geral pode ser obtida usando variáveis características; para
isso dá uma forma explícita muito simples (fácil de aplicar na prova). Vou mostrar por que a fórmula funciona e depois aplicá-la ao caso concreto.
Passo 3
Derivação (aula curta e direta) da forma de d’Alembert:
- Defina
e . Invertendo, , . - Usando a regra da cadeia obtém-se
- Calculando segundas derivadas:
- Subtraindo, obtemos
Portanto
é equivalente a
- A equação
diz que a derivada mista é zero, logo a solução geral é soma de duas funções de uma variável:
onde
e
são funções a determinar pelas condições iniciais.
- Aplique as condições iniciais. Defina
e . Em temos
Derivando a expressão
em
e avaliando em
,
- A partir de
e resolvemos para e . Uma forma prática (padrão) leva à fórmula de d’Alembert:
Explicando: a primeira parte representa duas ondas que se deslocam sem mudar de forma (uma para a esquerda, outra para a direita); a segunda parte é a contribuição da velocidade inicial
acumulada entre
e
.
Passo 4
Agora aplico a fórmula ao caso concreto:
- Identifico
e . - Como
, o termo integral desaparece:
- Portanto
- Substituindo
:
- Simplificando cada meia fração
, obtemos a forma final
Opcionalmente posso fatorar
:
, mas a forma acima já está boa para a prova.
Passo 5
Comentário final amigo: a solução é simplesmente a média das duas cópias deslocadas da condição inicial
. Como a velocidade inicial é zero, não há termo integral. Essa solução é pontual, explícita e está pronta para ser usada na prova — se quiser, dá pra verificar rapidamente que ela satisfaz a PDE e as condições iniciais diferenciando em
e
. Força aí — você já tem a técnica principal para problemas parecidos!