Utilize o método dos multiplicadores de Lagrange e determine os pontos onde f tem valor extremo.
b) f(x, y)=5 x^2+6 y^2-x y restrito a x+2 y=24

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos de extremo de
f(x,y)=5x²+6y²−xy sujeitos à restrição x+2y=24 usando multiplicadores de Lagrange. O tema é cálculo multivariado e vamos precisar montar a função Lagrangeana, calcular derivadas parciais e resolver o sistema com a restrição.

Passo 2

Definimos a Lagrangeana
L(x,y,λ)=5x^2+6y^2−x y−λ(x+2y−24)
Aqui subtraímos λ vezes a função de restrição g(x,y)=x+2y−24 para impor g(x,y)=0.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
∂L/∂x=10x−y−λ=0,
∂L/∂y=12y−x−2λ=0,
e a própria restrição
x+2y−24=0

Passo 4

Das duas primeiras obtém-se
10x−y=λ,
12y−x=2λ.
Igualando λ de ambas:
10x−y=12y−x2
Multiplicando por 2 e rearranjando dá 20x−2y=12y−x ⇒21x=14y ⇒y=3x/2.

Passo 5

Substituindo y=3x/2 na restrição x+2y=24 temos x+2·(3x/2)=4x=24 ⇒x=6 e y=3·6/2=9.

Passo 6

Para verificar a natureza do extremo observamos que o Hessiano de f é
H=10 & -1-1 &12,
cujo determinante 10·12−(−1)²=119>0 e a primeira principal menor é 10>0, logo f é convexa. Assim o ponto (6,9) é mínimo.

Passo 7

Concluímos que f não tem máximo (vai a +∞ ao longo da reta), e possui um mínimo em (6,9).

Resposta

Mínimo em (6,9); não há máximo.

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