Utilize o método dos multiplicadores de Lagrange e determine os pontos onde
tem valor extremo.
b)
restrito a
b)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos de extremo de
f(x,y)=5x²+6y²−xy sujeitos à restrição x+2y=24 usando multiplicadores de Lagrange. O tema é cálculo multivariado e vamos precisar montar a função Lagrangeana, calcular derivadas parciais e resolver o sistema com a restrição.
f(x,y)=5x²+6y²−xy sujeitos à restrição x+2y=24 usando multiplicadores de Lagrange. O tema é cálculo multivariado e vamos precisar montar a função Lagrangeana, calcular derivadas parciais e resolver o sistema com a restrição.
Passo 2
Definimos a Lagrangeana
Aqui subtraímos λ vezes a função de restrição g(x,y)=x+2y−24 para impor g(x,y)=0.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
e a própria restrição
Passo 4
Das duas primeiras obtém-se
10x−y=λ,
12y−x=2λ.
Igualando λ de ambas:
10x−y=λ,
12y−x=2λ.
Igualando λ de ambas:
Multiplicando por 2 e rearranjando dá 20x−2y=12y−x ⇒21x=14y ⇒y=3x/2.
Passo 5
Substituindo y=3x/2 na restrição x+2y=24 temos x+2·(3x/2)=4x=24 ⇒x=6 e y=3·6/2=9.
Passo 6
Para verificar a natureza do extremo observamos que o Hessiano de f é
cujo determinante 10·12−(−1)²=119>0 e a primeira principal menor é 10>0, logo f é convexa. Assim o ponto (6,9) é mínimo.
Passo 7
Concluímos que f não tem máximo (vai a +∞ ao longo da reta), e possui um mínimo em (6,9).
Resposta
Mínimo em (6,9); não há máximo.