Utilize o método de Newton e uma calculadora para encontrar uma solução para a equação:
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede para, utilizando o método de Newton e uma calculadora, encontrar uma solução numérica. O enunciado já sugere a aproximação
como objetivo a ser obtido/confirmado.
Informações relevantes: função a ser zerada e que se deve aplicar o método de Newton com auxílio de calculadora.
Informações relevantes: função a ser zerada e que se deve aplicar o método de Newton com auxílio de calculadora.
Passo 2
Apresentar o método de Newton (fórmula e significado). Seja
O método de Newton constrói aproximações sucessivas
pela fórmula
onde
é a derivada de
. Aqui:
-
é a aproximação atual; -
é o valor da função naquele ponto (quanto está distante de zero); -
é a inclinação da reta tangente a em (como a função muda localmente).
A ideia: aproximar a curva por sua reta tangente e usar a raiz dessa reta como nova aproximação. Para a nossa função:
Regra prática: escolher um chute inicial
razoavelmente próximo da raiz real; aqui a raiz real está entre
e
porque
e
. Vou escolher
(próximo do valor sugerido e que facilita convergência rápida). Usarei a calculadora para avaliar
e
com as casas decimais necessárias.
Passo 3
Avaliar em
:
Aplicando a fórmula de Newton:
(Usei a calculadora para dividir
por
e obter
.)
Passo 4
Agora avaliar
e
em
. Primeiro calcular quadrado e cubo (com calculadora):
Então
Cálculo da correção:
Portanto
Passo 5
Avaliar em
para ver se já convergiu (novamente com calculadora):
-calcular quadrado aproximado:
-calcular quadrado aproximado:
-cubo aproximado:
Então
Correção:
Logo
Passo 6
Critério de parada e interpretação: observe que a mudança de
para
é aproximadamente
, ou seja, já estamos muito próximos da raiz verdadeira. Se arredondarmos para cinco casas decimais, tanto
quanto
dão
. A convergência do método de Newton aqui é rápida (quadrática perto da raiz), por isso apenas duas a três iterações deram precisão suficiente para o arredondamento pedido.
Passo 7
Verificação final: a raiz exata (numérica) conhecida para
é aproximadamente
. As nossas iterações deram
, consistente com essa referência e com o valor pedido arredondado.