Utilize o método de Newton e uma calculadora para encontrar uma solução para a equação:
x^{3}-x-1=0 \quad x=1,32472

Passo 1

O enunciado dá a equação
x^{3}-x-1=0
e pede para, utilizando o método de Newton e uma calculadora, encontrar uma solução numérica. O enunciado já sugere a aproximação x=1,32472 como objetivo a ser obtido/confirmado.
Informações relevantes: função a ser zerada e que se deve aplicar o método de Newton com auxílio de calculadora.

Passo 2

Apresentar o método de Newton (fórmula e significado). Seja
f(x)=x^{3}-x-1.
O método de Newton constrói aproximações sucessivas \{x_{n}\} pela fórmula
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})},
onde f'(x) é a derivada de f. Aqui:
  • x_{n} é a aproximação atual;
  • f(x_{n}) é o valor da função naquele ponto (quanto está distante de zero);
  • f'(x_{n}) é a inclinação da reta tangente a f em x_{n} (como a função muda localmente).
    A ideia: aproximar a curva por sua reta tangente e usar a raiz dessa reta como nova aproximação. Para a nossa função:
f'(x)=3x^{2}-1.
Regra prática: escolher um chute inicial x_{0} razoavelmente próximo da raiz real; aqui a raiz real está entre 1 e 2 porque f(1)=-1 e f(2)=5. Vou escolher x_{0}=1,3 (próximo do valor sugerido e que facilita convergência rápida). Usarei a calculadora para avaliar f e f' com as casas decimais necessárias.

Passo 3

Avaliar em x_{0}=1,3:
f(1,3)=1,3^{3}-1,3-1=2,197-1,3-1=-0,103.
f'(1,3)=3\cdot(1,3)^{2}-1=3\cdot1,69-1=5,07-1=4,07.
Aplicando a fórmula de Newton:
x_{1}=1,3-\frac{-0,103}{4,07}=1,3+0,025305\approx1,325305.
(Usei a calculadora para dividir 0,103 por 4,07 e obter 0,025305.)

Passo 4

Agora avaliar f e f' em x_{1}=1,325305. Primeiro calcular quadrado e cubo (com calculadora):
x_{1}^{2}\approx1,756433343, \qquad x_{1}^{3}\approx2,3278098916.
Então
f(1,325305)=x_{1}^{3}-x_{1}-1\approx2,3278098916-1,325305-1\approx0,0025048916.
f'(1,325305)=3x_{1}^{2}-1\approx3\cdot1,756433343-1\approx4,269300029.
Cálculo da correção:
\Delta =\frac{f(x_{1})}{f'(x_{1})}\approx\frac{0,0025048916}{4,269300029}\approx0,000586191.
Portanto
x_{2}=x_{1}-\Delta\approx1,325305-0,000586191\approx1,324718809.

Passo 5

Avaliar em x_{2}=1,324718809 para ver se já convergiu (novamente com calculadora):
-calcular quadrado aproximado:
x_{2}^{2}\approx1,754880343,
-cubo aproximado:
x_{2}^{3}\approx2,324722980.
Então
f(1,324718809)=x_{2}^{3}-x_{2}-1\approx2,324722980-1,324718809-1\approx0,000004171.
f'(1,324718809)=3x_{2}^{2}-1\approx3\cdot1,754880343-1\approx4,264640029.
Correção:
\Delta=\frac{f(x_{2})}{f'(x_{2})}\approx\frac{0,000004171}{4,264640029}\approx0,0000009776.
Logo
x_{3}=x_{2}-\Delta\approx1,324718809-0,0000009776\approx1,3247178314.

Passo 6

Critério de parada e interpretação: observe que a mudança de x_{2} para x_{3} é aproximadamente 9{,}8\times10^{-7}, ou seja, já estamos muito próximos da raiz verdadeira. Se arredondarmos para cinco casas decimais, tanto x_{2} quanto x_{3} dão 1,32472. A convergência do método de Newton aqui é rápida (quadrática perto da raiz), por isso apenas duas a três iterações deram precisão suficiente para o arredondamento pedido.

Passo 7

Verificação final: a raiz exata (numérica) conhecida para x^{3}-x-1=0 é aproximadamente 1,324717957\ldots. As nossas iterações deram x_{3}\approx1,3247178314, consistente com essa referência e com o valor pedido arredondado.

Resposta

x=1,32472

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