Utilize o método de Newton com a derivada analítica para resolver os exercícios abaixo e siga as orientações abaixo: Se for dado um intervalo a, b, utilize a Bisseção para determinar x_{0}. Sempre calcule os três tipos de erros vistos em aula. Analise a convergência.
Calcule o zero de f(x)=1.2 x^{3}+2 x^{2}-20 x-10, sabendo que a raiz está no intervalo [-5,-4]. Faça até k=3.

Passo 1

O enunciado pede: calcular o zero da função f(x)=1{,}2x^{3}+2x^{2}-20x-10, sabendo que existe uma raiz no intervalo [-5,-4]. Instruções adicionais que seguirei (sem perguntar nada a mais): usar Bisseção para determinar x_{0}, aplicar o Método de Newton com derivada analítica até k=3, calcular os três tipos de erros vistos em aula e analisar a convergência.
Informações dadas:
  • Função: f(x)=1{,}2x^{3}+2x^{2}-20x-10.
  • Intervalo que contém a raiz: [-5,-4].
  • Fazer iterações de Newton até k=3 (ou seja: calcular x_{1},x_{2},x_{3}).

Passo 2

Escolher x_{0} por Bisseção no intervalo [-5,-4].
  1. Calcular f(-5) e f(-4) para confirmar a troca de sinal:
f(-5)=1{,}2(-5)^{3}+2(-5)^{2}-20(-5)-10=-150+50+100-10=-10.
f(-4)=1{,}2(-4)^{3}+2(-4)^{2}-20(-4)-10=-76{,}8+32+80-10=25{,}2.
Como f(-5)\cdot f(-4)<0, há raiz em (-5,-4).
  1. Bisseção: ponto médio do intervalo [-5,-4] é
x_{0}=\frac{-5+(-4)}{2}=-4{,}5.
(Escolhi x_{0}=-4{,}5 — uma única iteração de bisseção para obter o ponto médio; é o que se costuma fazer como chute inicial.)

Passo 3

Derivada analítica e fórmula do Método de Newton (breve aula didática).
  • Derivada de f:
f'(x)=\frac{d}{dx}\big(1{,}2x^{3}+2x^{2}-20x-10\big)=3{,}6x^{2}+4x-20.
Explanação rápida: derivada de ax^{3} é 3ax^{2}, de bx^{2} é 2bx, de -20x é -20, constante some.
  • Fórmula do Método de Newton:
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
Ideia intuitiva: aproximar a curva por sua reta tangente em x_n e usar a interseção com o eixo x como novo aproximante. Quando estamos perto da raiz, Newton costuma convergir muito rápido (convergência quadrática, explico mais adiante).

Passo 4

Iteração k=1: cálculo de x_{1} a partir de x_{0}=-4{,}5.
  1. Avaliar f(x_{0}) e f'(x_{0}):
f(-4{,}5)=1{,}2(-4{,}5)^{3}+2(-4{,}5)^{2}-20(-4{,}5)-10=11{,}15.
f'(-4{,}5)=3{,}6(-4{,}5)^{2}+4(-4{,}5)-20=72{,}9-18-20=34{,}9.
  1. Aplicar Newton:
x_{1}= -4{,}5 - \frac{11{,}15}{34{,}9}\approx -4{,}819485672.
(Detalhe do cálculo: 11{,}15/34{,}9\approx0{,}319485672, então x_{1}\approx-4{,}819485672.)

Passo 5

Iteração k=2: cálculo de x_{2} a partir de x_{1}.
  1. Avaliar f(x_{1}) e f'(x_{1}) (uso valores numéricos aproximados obtidos substituindo x_{1} em f e f'):
f(-4{,}819485672)\approx -1{,}49281114,
f'(-4{,}819485672)\approx 44{,}34084008.
  1. Aplicar Newton:
x_{2}= -4{,}819485672 - \frac{-1{,}49281114}{44{,}34084008}\approx -4{,}785818701.
(Detalhe: (-1{,}49281114)/44{,}34084008\approx -0{,}033666971; o menos do método fica +0{,}033666971, por isso x_{2} é menos negativo.)

Passo 6

Iteração k=3: cálculo de x_{3} a partir de x_{2}.
  1. Avaliar f(x_{2}) e f'(x_{2}):
f(-4{,}785818701)\approx -0{,}01578218,
f'(-4{,}785818701)\approx 43{,}3115951.
  1. Aplicar Newton:
x_{3}= -4{,}785818701 - \frac{-0{,}01578218}{43{,}3115951}\approx -4{,}785375035.
(Detalhe: (-0{,}01578218)/43{,}3115951\approx -0{,}000443666, somando dá a correção positiva +0{,}000443666.)
Resumo das iterações (valores aproximados):
  • x_{0}=-4{,}5
  • x_{1}\approx -4{,}819485672
  • x_{2}\approx -4{,}785818701
  • x_{3}\approx -4{,}785375035

Passo 7

Cálculo dos três erros (definições e valores numéricos). Primeiro explico as definições (aquelas “três vistas em aula”):
  1. Erro aproximado (erro de iteração) entre iterações consecutivas:
E_{a}^{(k)}=\big|x_{k}-x_{k-1}\big|.
  1. Erro verdadeiro (absoluto) em relação ao valor verdadeiro da raiz x^{*}:
E_{t}^{(k)}=\big|x_{k}-x^{*}\big|.
Observação prática: normalmente não conhecemos x^{*} exatamente; aqui posso estimá-la por um valor mais preciso obtido continuando Newton até estabilidade. Continuando Newton mais uma iteração (não contada no requisito de fazer até k=3) obtém-se uma correção da ordem de 10^{-8}, então tomarei como bom aproximante para x^{*} o valor
x^{*}\approx -4{,}78537504\quad(\text{aprox.})
isso é suficiente para calcular erros com precisão útil.
  1. Erro relativo verdadeiro:
E_{r}^{(k)}=\frac{E_{t}^{(k)}}{\big|x^{*}\big|}.
Agora os valores (usando x^{*}\approx -4{,}78537504):
  • Para k=0 ( x_{0}=-4{,}5): E_{a}^{(0)}\\ \text{(não aplicável)}.ãá
E_{t}^{(0)}=\big|-4{,}5-(-4{,}78537504)\big|=0{,}28537504.
E_{r}^{(0)}=\frac{0{,}28537504}{4{,}78537504}\approx 0{,}05965\;(\approx 5{,}965\%).
  • Para k=1 ( x_{1}\approx -4{,}819485672): E_{a}^{(1)}=\big|-4{,}819485672-(-4{,}5)\big|=0{,}319485672.
E_{t}^{(1)}=\big|-4{,}819485672-(-4{,}78537504)\big|=0{,}034110632.
E_{r}^{(1)}=\frac{0{,}034110632}{4{,}78537504}\approx 0{,}00713\;(\approx 0{,}713\%).
  • Para k=2 ( x_{2}\approx -4{,}785818701): E_{a}^{(2)}=\big|-4{,}785818701-(-4{,}819485672)\big|=0{,}033666971.
E_{t}^{(2)}=\big|-4{,}785818701-(-4{,}78537504)\big|=0{,}000443661.
E_{r}^{(2)}=\frac{0{,}000443661}{4{,}78537504}\approx 9{,}27\times10^{-5}\;(\approx 0{,}00927\%).
  • Para k=3 ( x_{3}\approx -4{,}785375035): E_{a}^{(3)}=\big|-4{,}785375035-(-4{,}785818701)\big|=0{,}000443666.
E_{t}^{(3)}=\big|-4{,}785375035-(-4{,}78537504)\big|\approx 5\times10^{-9}.
E_{r}^{(3)}\approx \frac{5\times10^{-9}}{4{,}78537504}\approx 1{,}0\times10^{-9}.
Comentários sobre os números: os E_{a} mostram as diferenças entre iterados; os E_{t} e E_{r} mostram que já em k=3 a aproximação está excelente (erro verdadeiro da ordem de 10^{-9} com a estimativa de x^{*} usada).

Passo 8

Análise de convergência (o que os números nos dizem).
  • Comportamento observado: os erros verdadeiros caem muito rapidamente entre k=1 e k=2 e de novo muito forte até k=3. Isso é típico do Método de Newton quando o chute inicial é razoável e não se está em um ponto singular: convergência quadrática. Em termos práticos, se a convergência for quadrática, espera-se
E_{t}^{(k+1)}\approx C\big(E_{t}^{(k)}\big)^{2}
para algum C constante quando k é suficientemente grande. Podemos estimar esse C com os dados:
C\approx \frac{E_{t}^{(2)}}{\big(E_{t}^{(1)}\big)^{2}}\approx \frac{0{,}000443661}{(0{,}034110632)^{2}}\approx 0{,}38,
o que é razoável (ordem de grandeza próxima a um número fixo). Para a etapa seguinte a constante estimada fica pequena por efeito de arredondamento e da proximidade numérica ao zero, mas a queda dos erros confirma a convergência rápida (praticamente quadrática) do método aqui.
  • Observação prática e de segurança: Newton exige f'(x_{n})\neq0 (aqui f'(x_{n}) foi sempre não nulo) e funciona bem quando o chute inicial está relativamente próximo e quando a função é suave (aqui é polinomial). Usar a Bisseção para obter x_{0} garante um chute razoável.

Resposta

x_{3}\approx -4{,}785375035

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