Utilize o método de Newton com a derivada analítica para resolver os exercícios abaixo e siga as orientações abaixo: Se for dado um intervalo a, b, utilize a Bisseção para determinar x_{0}. Sempre calcule os três tipos de erros vistos em aula. Analise a convergência.
Calcule o zero de f(x)=1.2 x^{3}+2 x^{2}-20 x-10, sabendo que a raiz está no intervalo [-5,-4]. Faça até k=3.
Passo 1
O enunciado pede: calcular o zero da função f(x)=1{,}2x^{3}+2x^{2}-20x-10, sabendo que existe uma raiz no intervalo [-5,-4]. Instruções adicionais que seguirei (sem perguntar nada a mais): usar Bisseção para determinar x_{0}, aplicar o Método de Newton com derivada analítica até k=3, calcular os três tipos de erros vistos em aula e analisar a convergência.
Informações dadas:
Função: f(x)=1{,}2x^{3}+2x^{2}-20x-10.
Intervalo que contém a raiz: [-5,-4].
Fazer iterações de Newton até k=3 (ou seja: calcular x_{1},x_{2},x_{3}).
Passo 2
Escolher x_{0} por Bisseção no intervalo [-5,-4].
Calcular f(-5) e f(-4) para confirmar a troca de sinal:
Explanação rápida: derivada de ax^{3} é 3ax^{2}, de bx^{2} é 2bx, de -20x é -20, constante some.
Fórmula do Método de Newton:
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
Ideia intuitiva: aproximar a curva por sua reta tangente em x_n e usar a interseção com o eixo x como novo aproximante. Quando estamos perto da raiz, Newton costuma convergir muito rápido (convergência quadrática, explico mais adiante).
Passo 4
Iteração k=1: cálculo de x_{1} a partir de x_{0}=-4{,}5.
(Detalhe: (-0{,}01578218)/43{,}3115951\approx -0{,}000443666, somando dá a correção positiva +0{,}000443666.)
Resumo das iterações (valores aproximados):
x_{0}=-4{,}5
x_{1}\approx -4{,}819485672
x_{2}\approx -4{,}785818701
x_{3}\approx -4{,}785375035
Passo 7
Cálculo dos três erros (definições e valores numéricos). Primeiro explico as definições (aquelas “três vistas em aula”):
Erro aproximado (erro de iteração) entre iterações consecutivas:
E_{a}^{(k)}=\big|x_{k}-x_{k-1}\big|.
Erro verdadeiro (absoluto) em relação ao valor verdadeiro da raiz x^{*}:
E_{t}^{(k)}=\big|x_{k}-x^{*}\big|.
Observação prática: normalmente não conhecemos x^{*} exatamente; aqui posso estimá-la por um valor mais preciso obtido continuando Newton até estabilidade. Continuando Newton mais uma iteração (não contada no requisito de fazer até k=3) obtém-se uma correção da ordem de 10^{-8}, então tomarei como bom aproximante para x^{*} o valor
x^{*}\approx -4{,}78537504\quad(\text{aprox.})
isso é suficiente para calcular erros com precisão útil.
Erro relativo verdadeiro:
E_{r}^{(k)}=\frac{E_{t}^{(k)}}{\big|x^{*}\big|}.
Agora os valores (usando x^{*}\approx -4{,}78537504):
Para k=0 (x_{0}=-4{,}5):E_{a}^{(0)}\\ \text{(não aplicável)}.ãá
Comentários sobre os números: os E_{a} mostram as diferenças entre iterados; os E_{t} e E_{r} mostram que já em k=3 a aproximação está excelente (erro verdadeiro da ordem de 10^{-9} com a estimativa de x^{*} usada).
Passo 8
Análise de convergência (o que os números nos dizem).
Comportamento observado: os erros verdadeiros caem muito rapidamente entre k=1 e k=2 e de novo muito forte até k=3. Isso é típico do Método de Newton quando o chute inicial é razoável e não se está em um ponto singular: convergência quadrática. Em termos práticos, se a convergência for quadrática, espera-se
E_{t}^{(k+1)}\approx C\big(E_{t}^{(k)}\big)^{2}
para algum C constante quando k é suficientemente grande. Podemos estimar esse C com os dados:
o que é razoável (ordem de grandeza próxima a um número fixo). Para a etapa seguinte a constante estimada fica pequena por efeito de arredondamento e da proximidade numérica ao zero, mas a queda dos erros confirma a convergência rápida (praticamente quadrática) do método aqui.
Observação prática e de segurança: Newton exige f'(x_{n})\neq0 (aqui f'(x_{n}) foi sempre não nulo) e funciona bem quando o chute inicial está relativamente próximo e quando a função é suave (aqui é polinomial). Usar a Bisseção para obter x_{0} garante um chute razoável.