Utilize o método de Newton com a derivada analítica para resolver os exercícios abaixo e siga as orientações abaixo: Se for dado um intervalo a, b, utilize a Bisseção para determinar x_{0}. Sempre calcule os três tipos de erros vistos em aula. Analise a convergência.
Resolva a equação x^{2}+2 x=-3 utilizando três casos: x_{0}=-1 e x_{0}=-1.5. Adote a tolerância do Tipo 2 de 10^{-2}.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos (resumido e claro).
  • Resolver a equação \,x^{2}+2x=-3\,.
  • Usar o método de Newton com derivada analítica.
  • Se houver um intervalo [a,b] devemos usar Bisseção para determinar x_0 (aqui NÃO há intervalo fornecido).
  • Calcular sempre os três tipos de erros vistos em aula (vou definir explicitamente quais três erros vou usar).
  • Analisar a convergência do método nos casos pedidos.
  • Casos solicitados: usar x_{0}=-1 e x_{0}=-1{,}5.
  • Critério de parada: tolerância do Tipo 2 igual a 10^{-2}. (Vou assumir que a Tolerância do Tipo 2 é o critério baseado na diferença entre iterações, ou seja, parar quando \,|x_{n+1}-x_n|<10^{-2}\,.)
Observações iniciais que vêm do enunciado:
  • Foi pedido “três casos”, mas foram indicados dois valores de x_0. Não foi dado nenhum intervalo [a,b]. Vou explicar abaixo o que isso implica e tratar os dois x_0 pedidos; também vou comentar sobre o uso da bisseção quando aplicável.

Passo 2

Encontrar as raízes teóricas (fórmula quadrática) — isso é útil para calcular o erro verdadeiro.
  • Reescrevendo a equação: \,x^{2}+2x+3=0\,.
  • Usando a fórmula de Bhaskara: x = \frac{-2 \pm \sqrt{(2)^{2}-4\cdot1\cdot3}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4-12}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{2}.
  • Portanto as raízes são complexas: x = -1 \pm i\sqrt{2}.
  • Conclusão útil: não existem raízes reais. Isso já antecipa que métodos que procuram raízes reais por bisseção (que exige mudança de sinal) não se aplicam, e que Newton com ponto inicial real tentará aproximar algo que não é real — veremos o que acontece numericamente.

Passo 3

Definição do método de Newton (breve aula prática e fórmula para este problema).
  • Para uma função \,f(x), o método de Newton itera
    x_{n+1}=x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
    Aqui a ideia é aproximar a curva por sua reta tangente e usar a interseção com o eixo x como próxima aproximação.
  • Para a nossa função \,f(x)=x^{2}+2x+3\, temos a derivada analítica
    f'(x)=2x+2.
  • Substituindo na fórmula de Newton:
    x_{n+1}=x_n - \frac{x_n^{2}+2x_n+3}{2x_n+2}.
  • Podemos simplificar a expressão porque x_n^{2}+2x_n+3=(x_n+1)^{2}+2. Assim:
    x_{n+1}=x_n - \frac{(x_n+1)^{2}+2}{2(x_n+1)} = x_n - \frac{x_n+1}{2} - \frac{1}{x_n+1}.
    Reescrevendo:
    x_{n+1}=\frac{x_n-1}{2} - \frac{1}{x_n+1}.
    Esta forma é prática para calcular as iterações manualmente sem frações pesadas.
  • Nota importante (conceitual): se em alguma iteração tivermos f'(x_n)=2x_n+2=0, então o passo de Newton é indefinido (divisão por zero). Isso acontece quando x_n=-1. Esse ponto é o vértice da parábola e é um ponto crítico para o método.

Passo 4

Definição explícita dos “três tipos de erros” que vou calcular (para ser claro e não assumir conhecimento).
Vou usar as definições comuns em aulas práticas:
  1. Erro verdadeiro (ou erro exato) — denoto por E_{\text{verd}}^{(n)}: distância da aproximação x_n até uma raiz exata x^*. Como as raízes são complexas, eu uso a raiz x^*=-1+i\sqrt{2} (escolho a conjugada positiva, a escolha da conj. não altera a análise qualitativa). Então E_{\text{verd}}^{(n)} = |x_n - x^*|.Para x_n real essa distância vale E_{\text{verd}}^{(n)}=\sqrt{(x_n+1)^{2}+2},porque x^*=-1+i\sqrt{2}.
  2. Erro aproximado (diferença entre iterações) — denoto por E_{\text{apr}}^{(n)}: E_{\text{apr}}^{(n)} = |x_n-x_{n-1}|.Este é o critério de parada do tipo 2 pedido: parar quando E_{\text{apr}}^{(n)}<10^{-2}.
  3. Erro relativo aproximado — denoto por E_{\text{rel}}^{(n)}: E_{\text{rel}}^{(n)} = \frac{|x_n-x_{n-1}|}{|x_n|}\quad\text{(quando \(x_n\neq0\)).}Isso mede a mudança proporcionalmente ao tamanho da aproximação.
Vou calcular esses três erros para as iterações que fizermos, sempre com números aproximados decimais quando necessário (colocando aproximações com 6 casas decimais quando útil).

Passo 5

Caso 1: x_{0}=-1. Aplicação prática e análise do que ocorre.
  • Calcular a derivada em -1: f'(-1)=2(-1)+2=0.
  • Consequência prática: a fórmula de Newton exige dividir por f'(x_0). Aqui teríamos divisão por zero, portanto o passo de Newton é indefinido.
  • Comentário didático: quando x_0 está exatamente em um ponto crítico onde f'(x_0)=0, Newton falha (não há próximo ponto definido). Na prática de prova: jamais escolher x_0 onde f'(x_0)=0; se acontecer, perturbam-se ligeiramente as condições (por exemplo usar x_0=-1{,}0001 ou outro ponto próximo) ou escolhe-se outro método.
  • Erros: não há iteração válida, então não há E_{\text{apr}} nem E_{\text{rel}} a computar. O erro verdadeiro com relação à raiz complexa seria E_{\text{verd}}^{(0)}=|{-1} - (-1+i\sqrt{2})| = \sqrt{0^{2}+2}=\sqrt{2}\approx1{,}414214,mas isso não salva a aplicação de Newton: o método não gera x_1.
  • Conclusão para o caso x_0=-1: Newton é impossível (divisão por zero). Na prova, escrever isso claramente e propor outro x_0.

Passo 6

Caso 2: x_{0}=-1{,}5. Cálculo das iterações de Newton (com detalhes) até ver comportamento e comparar com a tolerância \,10^{-2}.
Usarei a forma prática
x_{n+1}=\frac{x_n-1}{2}-\frac{1}{x_n+1}
para calcular. Vou mostrar os primeiros termos, em forma de tabela com os três erros para cada iteração (valores aproximados):
  • Iteração n=0:
    x_0 = -1{,}5.
  • Iteração n=1:
    x_1 = -1{,}5 - \frac{f(-1{,}5)}{f'(-1{,}5)}.
    Calculando exatamente (forma racional): x_1=\dfrac{3}{4}=0{,}75.
    Erros:
    E_{\text{apr}}^{(1)}=|x_1-x_0|=|0{,}75-(-1{,}5)|=2{,}25.
E_{\text{verd}}^{(1)}=\sqrt{(0{,}75+1)^{2}+2}=\sqrt{1{,}75^{2}+2}=\sqrt{5{,}0625}=2{,}25.
E_{\text{rel}}^{(1)}=\frac{2{,}25}{|0{,}75|}=3{,}0.
  • Iteração n=2:
    cálculo exato deu x_2=-\dfrac{39}{56}\approx -0{,}6964285714.
    Erros: E_{\text{apr}}^{(2)}=|x_2-x_1|\approx 1{,}4464285714.
f(x_2)=\frac{6561}{3136}\Rightarrow E_{\text{verd}}^{(2)}=\sqrt{f(x_2)}\approx1{,}4464285714.
E_{\text{rel}}^{(2)}\approx\frac{1{,}4464285714}{| -0{,}6964285714|}\approx2{,}077.
  • Iteração n=3:
    cálculo exato nos dá x_3=-\dfrac{7887}{1904}\approx -4{,}14234375.
    Erros: E_{\text{apr}}^{(3)}\approx| -4{,}142344 - (-0{,}696429)|\approx3{,}445916.
E_{\text{verd}}^{(3)}=\sqrt{(x_3+1)^2+2}\approx3{,}445916.
E_{\text{rel}}^{(3)}\approx\frac{3{,}445916}{4{,}142344}\approx0{,}832.
  • Iteração n=4:
    usando a fórmula prática (aprox. numérica), x_4\approx -2{,}253314.Erros: E_{\text{apr}}^{(4)}\approx1{,}889030.
E_{\text{verd}}^{(4)}\approx\sqrt{(-2{,}253314+1)^2+2}\approx1{,}889030.
E_{\text{rel}}^{(4)}\approx\frac{1{,}889030}{2{,}253314}\approx0{,}838.
  • Iteração n=5: x_5\approx -0{,}828747.Erros: E_{\text{apr}}^{(5)}\approx1{,}424567.
E_{\text{verd}}^{(5)}\approx1{,}424567.
E_{\text{rel}}^{(5)}\approx\frac{1{,}424567}{0{,}828747}\approx1{,}719.
  • Iteração n=6: x_6\approx -6{,}754375.Erros: E_{\text{apr}}^{(6)}\approx5{,}925628.
E_{\text{verd}}^{(6)}\approx5{,}925628.
E_{\text{rel}}^{(6)}\approx\frac{5{,}925628}{6{,}754375}\approx0{,}877.
Observações numéricas e interpretação:
  • Note que os valores de E_{\text{apr}}^{(n)} e E_{\text{verd}}^{(n)} aparecem numericamente muito próximos em cada passo; isso acontece aqui porque para essa função quadrática com raízes complexas a relação entre f(x_n) e a distância à raiz gera esse comportamento (veja a identidade f(x)=(x+1)^{2}+2, etc.). Mas o ponto essencial é o comportamento: os passos não diminuem monotonamente; os valores oscilam e podem crescer muito (por exemplo x_3\to x_4\to x_5\to x_6 mostram saltos grandes).
  • Critério de parada pedido: parar quando E_{\text{apr}}^{(n)}<10^{-2}. Nos primeiros 6 passos vistos a diferença entre iterações nunca ficou menor que 10^{-2}; ao contrário, os saltos oscilam e em alguns passos crescem.
  • Conclusão prática para x_0=-1{,}5: o método de Newton com ponto inicial real x_0=-1{,}5 não converge para uma raiz real (porque não existe raiz real) e numericamente gera uma sequência oscilante / divergente (não satisfaz o critério E_{\text{apr}}<10^{-2}). Portanto, com esse x_0 não se obtém convergência numérica ao critério pedido.

Passo 7

Análise global de convergência e comentários finais didáticos (o que aprender para a prova).
  • Motivo teórico: Newton converge localmente quando o ponto inicial está “suficientemente próximo” de uma raiz simples real e quando f' não é zero nas proximidades. Aqui as raízes são complexas; qualquer sequência iniciada em um ponto real e que permaneça real não pode convergir para uma raiz complexa porque Newton para funções polinomiais com coeficientes reais mantém iterações reais se começar com real (a menos que no passo se obtenha divisão por zero ou se entre no complexo por manipulação — mas com nossa fórmula real, os x_n permaneceram reais). Assim, não há convergência para raízes reais (pois não existem), e os iterados oscilam/divergem.
  • Sobre o uso da Bisseção: a bisseção exige um intervalo [a,b] tal que f(a)\cdot f(b)<0 (mudança de sinal). Aqui: f(x)=x^{2}+2x+3=(x+1)^{2}+2\ge 2\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R},e o mínimo é f(-1)=2>0. Logo NUNCA há mudança de sinal — a bisseção é inaplicável em toda a reta real. Portanto não há como “usar Bisseção para determinar x_0” porque não existe um intervalo com mudança de sinal. Isto responde o pedido de usar a Bisseção caso tenha intervalo: aqui não há como.
  • Em provas: ao se deparar com equação quadrática, calcular primeiro o discriminante; se for negativo, já anote “não há raízes reais” e então comente que métodos numéricos que procuram raízes reais (bisseção, Newton com inicial real esperando raiz real) não vão convergir para raiz real. Se mesmo assim for pedida aplicação numérica, explique a impossibilidade ou mostre que a iteração falha (diverge ou indefinida).

Resposta

x_0=-1: método de Newton impossível (divisão por zero em f'(-1)=0).
x_0=-1{,}5: Newton produz a sequência real \,-1{,}5,\;0{,}75,\;-0{,}6964286,\;-4{,}1423438,\ldots que oscila/diverge e NÃO atinge o critério de parada |x_{n+1}-x_n|<10^{-2}; portanto não há convergência para raiz real.
Usar Bisseção para escolher x_0 é impossível porque f(x)=(x+1)^{2}+2\ge2>0 para todo x, logo não existe intervalo [a,b] com f(a)f(b)<0.

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