Utilize o método de Newton com a derivada analítica para resolver os exercícios abaixo e siga as orientações abaixo: Se for dado um intervalo
, utilize a Bisseção para determinar
. Sempre calcule os três tipos de erros vistos em aula. Analise a convergência.
Resolva a equação
utilizando três casos:
. Faça até
.
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos:
- Resolver a equação
usando o método de Newton com derivada analítica. - Fazer três casos separados com os seguintes pontos iniciais:
- Caso A:
. - Caso B:
. - Caso C:
.
- Caso A:
- Fazer iterações até
(isto é, calcular quando possível). - Calcular os três tipos de erro vistos em aula para cada iteração: erro real (verdadeiro), erro aproximado absoluto e erro aproximado relativo (quando bem definido).
- Por fim, analisar a convergência em cada caso.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função é
. - Os pontos iniciais são exatamente
, e . - Não foi dado nenhum intervalo
neste enunciado, então usamos diretamente os fornecidos.
Passo 2
Fórmula do método de Newton (com derivada analítica) e observações importantes.
- Regra de iteração de Newton: para uma função
com derivada conhecida,
- Aqui
e, portanto, a derivada analítica é . - Substituindo na fórmula de Newton obtemos a forma específica
desde que
. Se
, a fórmula apresenta divisão por zero e a iteração de Newton não é aplicável nesse ponto.
- Convergência (lembrete rápido): se
é uma raiz simples (ou seja, e ), Newton tende a convergir quadraticamente para sempre que a aproximação inicial estiver suficientemente próxima. Se (raiz múltipla ou ponto crítico), o comportamento pode ser ruim ou a fórmula falhar.
Passo 3
Definição dos três tipos de erro que vamos calcular (e como interpretar/usar):
- Erro real (ou erro verdadeiro) em iteração
:
onde
é a raiz exata para a qual se quer comparar (aqui, a raiz relevante é o múltiplo de
mais próximo do ponto inicial; nos casos A e B sabemos qual é:
para
e
para
).
- Erro aproximado absoluto entre iterações consecutivas:
Este mede a variação entre aproximações sucessivas.
- Erro aproximado relativo (quando definido):
desde que
. Se
então
fica indefinido (divisão por zero) e devemos mencionar isso.
Explicação rápida e prática:
- Em provas, normalmente calcula-se
, depois para cada registra-se (quando possível). Se algum denominador for zero (por exemplo para quando ) escrevemos que é indefinido.
Passo 4
Caso A:
.
- Calcular
e . - Aplicando Newton:
- Como
, as iterações seguintes ficam fixas:
- Escolhendo
como raiz exata (a raiz que estamos aproximando), calculemos os erros para :
Para
:
Para
:
Para
:
- Interpretação e análise de convergência (caso A):
- Começar exatamente numa raiz com
faz com que Newton já esteja no ponto exato; todas as iterações permanecem exatamente na raiz. - Em termos de convergência, é convergência imediata (fixação no exato valor) — não se observa a típica aproximação iterativa porque já se iniciou na solução.
- Observação prática: o erro verdadeiro é zero e os erros aproximados absolutos são zero; o erro aproximado relativo não pode ser calculado porque
.
- Começar exatamente numa raiz com
Passo 5
Caso B:
.
- Calcular
e . - Aplicando Newton:
- Novamente, iterações seguintes permanecem:
- Tomando
como raiz exata, os erros são:
Para
:
Para
:
Para
:
- Interpretação e análise de convergência (caso B):
- Novamente, iniciar exatamente na raiz leva à fixação imediata na solução: Newton não precisa “aproximar” nada porque já se tem a raiz.
- Erros verdadeiros e aproximados são zero e o erro relativo aproximado é bem definido e igual a zero porque
. - Em termos de convergência teórica, a raiz é simples (pois
), então se se começasse próximo de (mas não exatamente em ), Newton teria convergência quadrática contra .
Passo 6
Caso C:
.
- Calcular
e . - A iteração de Newton exige dividir por
. Aqui , portanto a fórmula
teria divisão por zero e é indefinida. Em termos práticos, o passo de Newton não pode ser computado em
.
- Conclusões e comportamentos possíveis:
- O método de Newton falha imediatamente se iniciado em um ponto onde
porque a expressão é indefinida. - Mesmo se tivéssemos uma pequena perturbação do ponto inicial (por exemplo
com pequeno), o comportamento do método pode ser instável: como estamos num ponto crítico da função (tangente vertical para ), as iterações podem saltar para raízes diferentes ou divergir, dependendo do sinal e magnitude de .
- O método de Newton falha imediatamente se iniciado em um ponto onde
- Para este caso, portanto, não há
bem definidos e não é possível calcular os três tipos de erro pedidos a partir de sem modificar o método (por exemplo, usando um método híbrido que evita pontos com derivada nula ou fazendo uma pequena perturbação do antes de aplicar Newton).
Passo 7
Resumo comparativo e comentários finais sobre convergência (motivação e dicas para prova):
- Casos A e B: começar exatamente numa raiz resulta em iterações estacionárias (todos os
iguais à raiz) e todos os erros são zero (exceto o erro relativo que fica indefinido quando a raiz é zero). Se a aproximação inicial estiver próxima, Newton tem convergência rápida (quadrática) para uma raiz simples. - Caso C: iniciar num ponto onde
impede a execução do método (divisão por zero). Na prática de prova, é importante verificar antes de aplicar Newton; se for zero, use outro método (bisseção, secante com pontos apropriados, ou perturbe levemente ).
Dica rápida para a prova: sempre verifique primeiro
e
. Se
você já tem a raiz. Se
a fórmula de Newton falha; não tente aplicar a fórmula sem tratar isso.
Resposta
Caso
:
Erro real
para
. Erro aproximado absoluto
para
. Erro aproximado relativo
é indefinido (divisão por zero) porque
.
Caso
:
Erro real
para
. Erro aproximado absoluto
para
. Erro aproximado relativo
para
.
Caso
: não é possível executar a primeira iteração de Newton porque
(divisão por zero). Portanto
não estão definidos sem modificar o método ou o ponto inicial.