Utilize o método de Newton com a derivada analítica para resolver os exercícios abaixo e siga as orientações abaixo: Se for dado um intervalo a, b, utilize a Bisseção para determinar x_{0}. Sempre calcule os três tipos de erros vistos em aula. Analise a convergência.
Resolva a equação \sin (x)=0 utilizando três casos: x_{0}=0, x_{0}=\pi \mathrm{e} x_{0}=\frac{\pi}{2}. Faça até k=3.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos:
  • Resolver a equação \sin(x)=0 usando o método de Newton com derivada analítica.
  • Fazer três casos separados com os seguintes pontos iniciais:
    • Caso A: x_0=0.
    • Caso B: x_0=\pi.
    • Caso C: x_0=\dfrac{\pi}{2}.
  • Fazer iterações até k=3 (isto é, calcular x_1,x_2,x_3 quando possível).
  • Calcular os três tipos de erro vistos em aula para cada iteração: erro real (verdadeiro), erro aproximado absoluto e erro aproximado relativo (quando bem definido).
  • Por fim, analisar a convergência em cada caso.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função é f(x)=\sin(x).
  • Os pontos iniciais são exatamente x_0=0, x_0=\pi e x_0=\dfrac{\pi}{2}.
  • Não foi dado nenhum intervalo [a,b] neste enunciado, então usamos diretamente os x_0 fornecidos.

Passo 2

Fórmula do método de Newton (com derivada analítica) e observações importantes.
  • Regra de iteração de Newton: para uma função f com derivada f' conhecida,
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
  • Aqui f(x)=\sin(x) e, portanto, a derivada analítica é f'(x)=\cos(x).
  • Substituindo na fórmula de Newton obtemos a forma específica
x_{n+1}=x_n-\frac{\sin(x_n)}{\cos(x_n)}=x_n-\tan(x_n),
desde que \cos(x_n)\neq0. Se \cos(x_n)=0, a fórmula apresenta divisão por zero e a iteração de Newton não é aplicável nesse ponto.
  • Convergência (lembrete rápido): se \alpha é uma raiz simples (ou seja, f(\alpha)=0 e f'(\alpha)\neq0), Newton tende a convergir quadraticamente para \alpha sempre que a aproximação inicial estiver suficientemente próxima. Se f'(\alpha)=0 (raiz múltipla ou ponto crítico), o comportamento pode ser ruim ou a fórmula falhar.

Passo 3

Definição dos três tipos de erro que vamos calcular (e como interpretar/usar):
  • Erro real (ou erro verdadeiro) em iteração k:
E_k=\lvert x_k-\alpha\rvert,
onde \alpha é a raiz exata para a qual se quer comparar (aqui, a raiz relevante é o múltiplo de \pi mais próximo do ponto inicial; nos casos A e B sabemos qual é: \alpha=0 para x_0=0 e \alpha=\pi para x_0=\pi).
  • Erro aproximado absoluto entre iterações consecutivas:
e_k=\lvert x_k-x_{k-1}\rvert.
Este mede a variação entre aproximações sucessivas.
  • Erro aproximado relativo (quando definido):
r_k=\frac{e_k}{\lvert x_k\rvert},
desde que \lvert x_k\rvert\neq0. Se \lvert x_k\rvert=0 então r_k fica indefinido (divisão por zero) e devemos mencionar isso.
Explicação rápida e prática:
  • Em provas, normalmente calcula-se x_1,x_2,x_3, depois para cada k=1,2,3 registra-se E_k,e_k,r_k (quando possível). Se algum denominador for zero (por exemplo para r_k quando x_k=0) escrevemos que é indefinido.

Passo 4

Caso A: x_0=0.
  • Calcular f(x_0)=\sin(0)=0 e f'(x_0)=\cos(0)=1.
  • Aplicando Newton:
x_1 = x_0 - \frac{\sin(x_0)}{\cos(x_0)} = 0 - \frac{0}{1}=0.
  • Como x_1=0, as iterações seguintes ficam fixas:
x_2 = x_1 - \frac{\sin(x_1)}{\cos(x_1)} = 0,\qquad x_3=0.
  • Escolhendo \alpha=0 como raiz exata (a raiz que estamos aproximando), calculemos os erros para k=1,2,3:
Para k=1:
E_1=\lvert x_1-\alpha\rvert=\lvert 0-0\rvert=0.
e_1=\lvert x_1-x_0\rvert=\lvert 0-0\rvert=0.
r_1=\frac{e_1}{\lvert x_1\rvert}=\frac{0}{\lvert 0\rvert}\quad\text{(indefinido, divisão por zero)}.ã
Para k=2:
E_2=\lvert x_2-0\rvert=0,\qquad e_2=\lvert x_2-x_1\rvert=0,\qquad r_2=\frac{0}{\lvert x_2\rvert}\\ \text{(indefinido)}.
Para k=3:
E_3=0,\qquad e_3=0,\qquad r_3\\ \text{(indefinido)}.
  • Interpretação e análise de convergência (caso A):
    • Começar exatamente numa raiz com f(x_0)=0 faz com que Newton já esteja no ponto exato; todas as iterações permanecem exatamente na raiz.
    • Em termos de convergência, é convergência imediata (fixação no exato valor) — não se observa a típica aproximação iterativa porque já se iniciou na solução.
    • Observação prática: o erro verdadeiro é zero e os erros aproximados absolutos são zero; o erro aproximado relativo não pode ser calculado porque x_k=0.

Passo 5

Caso B: x_0=\pi.
  • Calcular f(x_0)=\sin(\pi)=0 e f'(x_0)=\cos(\pi)=-1.
  • Aplicando Newton:
x_1 = x_0 - \frac{\sin(x_0)}{\cos(x_0)} = \pi - \frac{0}{-1}=\pi.
  • Novamente, iterações seguintes permanecem:
x_2=\pi,\qquad x_3=\pi.
  • Tomando \alpha=\pi como raiz exata, os erros são:
Para k=1:
E_1=\lvert x_1-\pi\rvert=\lvert \pi-\pi\rvert=0.
e_1=\lvert x_1-x_0\rvert=\lvert \pi-\pi\rvert=0.
r_1=\frac{e_1}{\lvert x_1\rvert}=\frac{0}{\lvert \pi\rvert}=0.
Para k=2:
E_2=0,\qquad e_2=0,\qquad r_2=0.
Para k=3:
E_3=0,\qquad e_3=0,\qquad r_3=0.
  • Interpretação e análise de convergência (caso B):
    • Novamente, iniciar exatamente na raiz leva à fixação imediata na solução: Newton não precisa “aproximar” nada porque já se tem a raiz.
    • Erros verdadeiros e aproximados são zero e o erro relativo aproximado é bem definido e igual a zero porque x_k=\pi\neq0.
    • Em termos de convergência teórica, a raiz é simples (pois \cos(\pi)=-1\neq0), então se se começasse próximo de \pi (mas não exatamente em \pi), Newton teria convergência quadrática contra \pi.

Passo 6

Caso C: x_0=\dfrac{\pi}{2}.
  • Calcular f(x_0)=\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1 e f'(x_0)=\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0.
  • A iteração de Newton exige dividir por f'(x_n). Aqui f'(x_0)=0, portanto a fórmula
x_{1}=x_0-\frac{\sin(x_0)}{\cos(x_0)}
teria divisão por zero e é indefinida. Em termos práticos, o passo de Newton não pode ser computado em x_0=\dfrac{\pi}{2}.
  • Conclusões e comportamentos possíveis:
    • O método de Newton falha imediatamente se iniciado em um ponto onde f'(x_0)=0 porque a expressão \dfrac{f(x_0)}{f'(x_0)} é indefinida.
    • Mesmo se tivéssemos uma pequena perturbação do ponto inicial (por exemplo x_0=\dfrac{\pi}{2}+\varepsilon com \varepsilon pequeno), o comportamento do método pode ser instável: como estamos num ponto crítico da função (tangente vertical para \tan(x)), as iterações podem saltar para raízes diferentes ou divergir, dependendo do sinal e magnitude de \varepsilon.
  • Para este caso, portanto, não há x_1,x_2,x_3 bem definidos e não é possível calcular os três tipos de erro pedidos a partir de x_0=\dfrac{\pi}{2} sem modificar o método (por exemplo, usando um método híbrido que evita pontos com derivada nula ou fazendo uma pequena perturbação do x_0 antes de aplicar Newton).

Passo 7

Resumo comparativo e comentários finais sobre convergência (motivação e dicas para prova):
  • Casos A e B: começar exatamente numa raiz resulta em iterações estacionárias (todos os x_k iguais à raiz) e todos os erros são zero (exceto o erro relativo que fica indefinido quando a raiz é zero). Se a aproximação inicial estiver próxima, Newton tem convergência rápida (quadrática) para uma raiz simples.
  • Caso C: iniciar num ponto onde f'(x_0)=0 impede a execução do método (divisão por zero). Na prática de prova, é importante verificar f'(x_0) antes de aplicar Newton; se for zero, use outro método (bisseção, secante com pontos apropriados, ou perturbe levemente x_0).
Dica rápida para a prova: sempre verifique primeiro f(x_0) e f'(x_0). Se f(x_0)=0 você já tem a raiz. Se f'(x_0)=0 a fórmula de Newton falha; não tente aplicar a fórmula sem tratar isso.

Resposta

Caso x_0=0: x_1=0,\\ x_2=0,\\ x_3=0. Erro real E_k=0 para k=1,2,3. Erro aproximado absoluto e_k=0 para k=1,2,3. Erro aproximado relativo r_k é indefinido (divisão por zero) porque x_k=0.
Caso x_0=\pi: x_1=\pi,\\ x_2=\pi,\\ x_3=\pi. Erro real E_k=0 para k=1,2,3. Erro aproximado absoluto e_k=0 para k=1,2,3. Erro aproximado relativo r_k=0 para k=1,2,3.
Caso x_0=\dfrac{\pi}{2}: não é possível executar a primeira iteração de Newton porque f'\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0 (divisão por zero). Portanto x_1,x_2,x_3 não estão definidos sem modificar o método ou o ponto inicial.

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