Utilize o método de Newton para encontrar soluções com precisão de
para os problemas a seguir:
.
Passo 1
O enunciado pede: usar o método de Newton para resolver a equação
com precisão
, a partir da aproximação inicial
.
Dados fornecidos:
- Equação:
. - Aproximação inicial:
. - Critério de parada: atingir precisão
(interpreto isto como ).
O objetivo final é obter uma aproximação de
tal que a diferença entre iterações consecutivas seja menor que
.
Passo 2
Apresentação do método de Newton (explicação didática).
- Ideia: aproximamos a função
por sua reta tangente em e usamos a interseção dessa reta com o eixo como nova aproximação . - Fórmula do método de Newton:
Explicando cada símbolo:
-
é a função cuja raiz queremos (aqui ); -
é a derivada de em ; -
é a aproximação atual e é a próxima aproximação obtida pela fórmula acima.
Condição de convergência prática usada aqui: calcular iterações até que
.
Passo 3
Aplicando ao nosso problema: definimos
Derivando:
Comentário didático: a derivada de
é
, então subtrair
dá
. Assim
. Para todo
real tem-se
(especificamente
e normalmente
), o que indica comportamento bem comportado para Newton aqui.
Passo 4
Iteração 0 → 1 (cálculo explícito).
-
. - Calcular
. - Calcular
. - Aplicando a fórmula:
Portanto
.
Passo 5
Iteração 1 → 2 (com números).
- Calcular
. Usando ,
- Calcular
. Usando ,
- Aplicando a fórmula:
Arredondei as contas apresentadas mantendo precisão suficiente para a iteração seguinte.
Passo 6
Iteração 2 → 3 (cálculos).
- Usando
. - Calcular
e (valores obtidos numericamente): -
. -
.
-
- Então
- Atualizando:
Passo 7
Iteração 3 → 4 e verificação da precisão pedida.
- Usando
. - Calcular
e (valores numéricos): -
(nota: valor próximo a porque na raiz). -
.
-
- Então
- Atualizando:
- Agora calculamos a diferença entre iterações:
Portanto a condição de parada
foi satisfeita na iteração
.
Passo 8
Conclusão e interpretação.
- O método de Newton, com
, fornece a aproximação final (dentro da tolerância solicitada) após quatro iterações: . - Isto significa que uma solução de
com erro menor que é . - Comentário encorajador: a raiz obtida é o ponto fixo bem conhecido da função
; Newton converge rapidamente aqui porque não é pequeno perto da raiz.