Encontre o zero das seguintes funções, pelo método de Newton e o método da Posição Falsa com
.
no intervalo
com:
para Newton;
e
para Posição Falsa.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o zero da função
no intervalo
, usando dois métodos numéricos diferentes com tolerância
. As informações dadas são:
- Intervalo inicial:
. - Para o método de Newton: chute inicial
. - Para o método da Posição Falsa (regula falsi): extremos iniciais
e . - Critério de parada: vamos usar como critério prático a diferença entre iterações consecutivas
. (Vou justificar e usar este critério nos passos seguintes.)
Passo 2
Aprendendo o método de Newton (explicação didática)
- A ideia do método de Newton é aproximar
em torno de por sua reta tangente e usar a interseção dessa reta com o eixo como próxima aproximação. - A fórmula de iteração é
- Aqui
é a derivada de . Para a nossa função,
- Justificativa do critério de parada: usar
garante que a aproximação para a raiz mudou pouco entre iterações e, portanto, atingiu a precisão solicitada em . Outra opção seria usar ; ambos são comuns. Vou usar a diferença entre iterações como combinado.
Passo 3
Aplicando Newton — iteração 0
1
- Dado
. - Calcule
e :
- Use a fórmula de Newton:
- Diferença
, logo continuar.
Passo 4
Aplicando Newton — iteração 1
2
- Para
:
(obtido calculando
.
- A derivada:
- Nova iteração:
- Diferença
, então prosseguir.
Passo 5
Aplicando Newton — iteração 2
3 e parada
- Para
, calcule e : - Uma avaliação aproximada dá
. - E
.
- Uma avaliação aproximada dá
- Nova iteração:
- Diferença
. Chegamos ao critério de parada. - Conclusão do Newton: a aproximação da raiz pelo método de Newton (com o critério adotado) é
.
Passo 6
Aprendendo o método da Posição Falsa (regula falsi) — explicação didática
- A Posição Falsa trabalha com um intervalo
tal que e têm sinais opostos (garantindo, por Bolzano, a existência de uma raiz no intervalo). - Em cada passo traça-se a reta que une os pontos
e e toma-se a interseção dessa reta com o eixo como novo ponto . A fórmula é
- Depois avalia-se
. Se tem sinal oposto ao de , substitui-se por ; se tem sinal oposto ao de , substitui-se por . O processo preserva um intervalo que contém a raiz. - Usaremos o mesmo critério de parada:
.
Passo 7
Aplicando Posição Falsa — iteração 0
1
- Começo com
, .
- Calcule
- Avaliação:
(negativo). Substituímos por . - Novo intervalo:
.
Passo 8
Aplicando Posição Falsa — iteração 1
2
- Com
e :
- Avaliação:
(negativo). Substituímos por . - Novo intervalo:
. - Diferença entre aproximações:
, continuar.
Passo 9
Aplicando Posição Falsa — iteração 2
3
- Com
e :
- Avaliação:
(negativo). Substituímos por . - Novo intervalo:
. - Diferença
, continuar.
Passo 10
Aplicando Posição Falsa — iteração 3
4
- Com
e :
- Avaliação:
(negativo). Substituímos por . - Novo intervalo:
. - Diferença
, ainda maior que a tolerância, continuar.
Passo 11
Aplicando Posição Falsa — iteração 4
5 e parada
- Com
e :
- Avaliação:
(negativo, pequeno). - Diferença
. Atingimos o critério de parada. - Conclusão da Posição Falsa: a aproximação da raiz pelo método da Posição Falsa (com o critério adotado) é
.