Encontre o zero das seguintes funções, pelo método de Newton e o método da Posição Falsa com \varepsilon \leq 0.01.
f(x)=2 x^{3}+\ln x-5 no intervalo [1,2] com: x_0 = 1 para Newton; x_0 = 1 e x_1 = 2 para Posição Falsa.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o zero da função
f(x)=2x^{3}+\ln x-5
no intervalo [1,2], usando dois métodos numéricos diferentes com tolerância \varepsilon \le 0,01. As informações dadas são:
  • Intervalo inicial: [1,2].
  • Para o método de Newton: chute inicial x_0=1.
  • Para o método da Posição Falsa (regula falsi): extremos iniciais x_0=1 e x_1=2.
  • Critério de parada: vamos usar como critério prático a diferença entre iterações consecutivas \lvert x_{n+1}-x_n\rvert \le 0,01. (Vou justificar e usar este critério nos passos seguintes.)

Passo 2

Aprendendo o método de Newton (explicação didática)
  • A ideia do método de Newton é aproximar f em torno de x_n por sua reta tangente e usar a interseção dessa reta com o eixo x como próxima aproximação.
  • A fórmula de iteração é
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
  • Aqui f'(x) é a derivada de f. Para a nossa função,
f(x)=2x^3+\ln x-5 \quad\Rightarrow\quad f'(x)=6x^2+\frac{1}{x}.
  • Justificativa do critério de parada: usar \lvert x_{n+1}-x_n\rvert\le 0,01 garante que a aproximação para a raiz mudou pouco entre iterações e, portanto, atingiu a precisão solicitada em x. Outra opção seria usar \lvert f(x_n)\rvert\le 0,01; ambos são comuns. Vou usar a diferença entre iterações como combinado.

Passo 3

Aplicando Newton — iteração 0 \to 1
  • Dado x_0=1.
  • Calcule f(x_0) e f'(x_0):
f(1)=2\cdot1^3+\ln 1-5=2+0-5=-3,
f'(1)=6\cdot1^2+\frac{1}{1}=6+1=7.
  • Use a fórmula de Newton:
x_1 = 1 - \frac{-3}{7} = 1+\frac{3}{7}=\frac{10}{7}\approx 1,428571.
  • Diferença \lvert x_1-x_0\rvert \approx 0,42857>0,01, logo continuar.

Passo 4

Aplicando Newton — iteração 1 \to 2
  • Para x_1=\dfrac{10}{7}\approx 1,428571:
f\bigl(x_1\bigr)=2\bigl(\tfrac{10}{7}\bigr)^3+\ln\bigl(\tfrac{10}{7}\bigr)-5 \approx 1{,}187578734
(obtido calculando \;2\cdot1000/343\;+\;\ln(10/7)\;-\;5\;).
  • A derivada:
f'\bigl(x_1\bigr)=6\bigl(\tfrac{10}{7}\bigr)^2+\frac{1}{10/7} \approx 12{,}944897959.
  • Nova iteração:
x_2 = x_1 - \frac{f(x_1)}{f'(x_1)} \approx 1{,}428571 - \frac{1{,}187578734}{12{,}944897959} \approx 1{,}336828.
  • Diferença \lvert x_2-x_1\rvert \approx 0{,}09174>0{,}01, então prosseguir.

Passo 5

Aplicando Newton — iteração 2 \to 3 e parada
  • Para x_2\approx 1{,}336828, calcule f(x_2) e f'(x_2):
    • Uma avaliação aproximada dá f(x_2)\approx 0{,}06886.
    • E f'(x_2)\approx 11{,}4709.
  • Nova iteração:
x_3 = x_2 - \frac{f(x_2)}{f'(x_2)} \approx 1{,}336828 - \frac{0{,}06886}{11{,}4709} \approx 1{,}330826.
  • Diferença \lvert x_3-x_2\rvert \approx 0{,}00600 \le 0{,}01. Chegamos ao critério de parada.
  • Conclusão do Newton: a aproximação da raiz pelo método de Newton (com o critério adotado) é x\approx 1{,}33083.

Passo 6

Aprendendo o método da Posição Falsa (regula falsi) — explicação didática
  • A Posição Falsa trabalha com um intervalo [a,b] tal que f(a) e f(b) têm sinais opostos (garantindo, por Bolzano, a existência de uma raiz no intervalo).
  • Em cada passo traça-se a reta que une os pontos (a,f(a)) e (b,f(b)) e toma-se a interseção dessa reta com o eixo x como novo ponto c. A fórmula é
c = b - f(b)\,\frac{b-a}{f(b)-f(a)}.
  • Depois avalia-se f\text{(c)}. Se f\text{(c)} tem sinal oposto ao de f(a), substitui-se a por c; se tem sinal oposto ao de f(b), substitui-se b por c. O processo preserva um intervalo que contém a raiz.
  • Usaremos o mesmo critério de parada: \lvert c_{\text{novo}}-c_{\text{anterior}}\rvert \le 0{,}01.

Passo 7

Aplicando Posição Falsa — iteração 0 \to 1
  • Começo com a_0=1, b_0=2.
f(1)=-3,\qquad f(2)=2\cdot 2^3+\ln 2-5=16+0{,}693147-5\approx 11{,}693147.
  • Calcule
c_1 = 2 - 11{,}693147\cdot\frac{2-1}{11{,}693147-(-3)} =2-\frac{11{,}693147}{14{,}693147}\approx 1{,}204337.
  • Avaliação: f(c_1)\approx -1{,}321188 (negativo). Substituímos a por c_1.
  • Novo intervalo: [1{,}204337,\;2].

Passo 8

Aplicando Posição Falsa — iteração 1 \to 2
  • Com a=1{,}204337 e b=2:
c_2 = 2 - 11{,}693147\cdot\frac{2-1{,}204337}{11{,}693147-(-1{,}321188)} \approx 1{,}285005.
  • Avaliação: f(c_2)\approx -0{,}50779 (negativo). Substituímos a por c_2.
  • Novo intervalo: [1{,}285005,\;2].
  • Diferença entre aproximações: \lvert c_2-c_1\rvert\approx 0{,}08067>0{,}01, continuar.

Passo 9

Aplicando Posição Falsa — iteração 2 \to 3
  • Com a=1{,}285005 e b=2:
c_3 \approx 2 - 11{,}693147\cdot\frac{2-1{,}285005}{11{,}693147-(-0{,}50779)} \approx 1{,}314014.
  • Avaliação: f(c_3)\approx -0{,}19104 (negativo). Substituímos a por c_3.
  • Novo intervalo: [1{,}314014,\;2].
  • Diferença \lvert c_3-c_2\rvert\approx 0{,}029009>0{,}01, continuar.

Passo 10

Aplicando Posição Falsa — iteração 3 \to 4
  • Com a=1{,}314014 e b=2:
c_4 \approx 2 - 11{,}693147\cdot\frac{2-1{,}314014}{11{,}693147-(-0{,}19104)} \approx 1{,}324862.
  • Avaliação: f(c_4)\approx -0{,}08106 (negativo). Substituímos a por c_4.
  • Novo intervalo: [1{,}324862,\;2].
  • Diferença \lvert c_4-c_3\rvert\approx 0{,}010848>0{,}01, ainda maior que a tolerância, continuar.

Passo 11

Aplicando Posição Falsa — iteração 4 \to 5 e parada
  • Com a=1{,}324862 e b=2:
c_5 \approx 2 - 11{,}693147\cdot\frac{2-1{,}324862}{11{,}693147-(-0{,}08106)} \approx 1{,}329476.
  • Avaliação: f(c_5)\approx -0{,}035 (negativo, pequeno).
  • Diferença \lvert c_5-c_4\rvert\approx 0{,}004614 \le 0{,}01. Atingimos o critério de parada.
  • Conclusão da Posição Falsa: a aproximação da raiz pelo método da Posição Falsa (com o critério adotado) é x\approx 1{,}32948.

Resposta

\text{Newton: }1{,}33083
\text{Posição Falsa: }1{,}32948çã

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