Quando todas as curvas de uma família G(x, y, c)=0 interceptam ortogonalmente todas as curvas de outra família H(x, y, k)=0, dizemos que as famílias são trajetórias ortogonais uma da outra. Se
y^prime(x)=f(x, y)
for a equação diferencial que descreve uma das famílias, então a equação diferencial das trajetórias ortogonais a essa família será
y^prime(x)=-1f(x, y)
Encontre as trajetórias ortogonais das famílias de curvas dadas nos itens abaixo.
(a) y=-x-1+c e^x.

Passo 1

O exercício pede para encontrar as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por y=-x-1+c e^x. O conteúdo é equações diferenciais de primeira ordem e o conceito de trajetórias ortogonais: se y'=f(x,y) descreve a família original, a ortogonal satisfaz y'=-1/f(x,y).

Passo 2

Da família y=-x-1+c e^x diferenciamos em relação a x para achar f(x,y). Temos
y' = ddxl(-x-1+c e^xr) = -1 + c e^x

Passo 3

Agora expressamos c e^x em função de x,y usando a equação original:
c e^x = y + x + 1

Passo 4

Substituindo em y' obtemos
y' = -1 + (y + x + 1) = x + y

Passo 5

Portanto f(x,y)=x+y e a equação diferencial das trajetórias ortogonais é
y' = -1f(x,y) = -1x+y

Passo 6

Para resolver
dydx = -1x+y, fazemos a substituição u=x+y. Então
dudx = 1 + dydx = 1 - 1u = u-1u

Passo 7

Separamos variáveis e integramos:
integral uu-1,du = integral 1,dx Como uu-1=1+1u-1,
integral l(1+1u-1r)du = u + ln|u-1| = x + C

Passo 8

Voltando a x,y pela definição de u:
(x+y) + ln|x+y-1| = x + C Cancelando x em ambos os lados e reagrupando obtemos a família de ortogonais:
y + ln|x+y-1| = C, ou, de forma explícita,
x + y - 1 = K e^-y, onde K=e^C é constante arbitrária.

Resposta

x + y - 1 = C e^-y

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