Quando todas as curvas de uma família
interceptam ortogonalmente todas as curvas de outra família
, dizemos que as famílias são trajetórias ortogonais uma da outra. Se
for a equação diferencial que descreve uma das famílias, então a equação diferencial das trajetórias ortogonais a essa família será
Encontre as trajetórias ortogonais das famílias de curvas dadas nos itens abaixo.
(a)
.
(a)
Passo 1
O exercício pede para encontrar as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por
. O conteúdo é equações diferenciais de primeira ordem e o conceito de trajetórias ortogonais: se
descreve a família original, a ortogonal satisfaz
.
Passo 2
Da família
diferenciamos em relação a
para achar
. Temos
Passo 3
Agora expressamos
em função de
usando a equação original:
Passo 4
Substituindo em
obtemos
Passo 5
Portanto
e a equação diferencial das trajetórias ortogonais é
Passo 6
Para resolver
Passo 7
Separamos variáveis e integramos:
Passo 8
Voltando a
pela definição de
: