Esboce o gráfico das funções abaixo determinando seu domínio e (quando possível) sua imagem. Feito isso, diga se são limitadas (superiormente ou inferiormente) e se possuem máximos ou mínimos (globais).
f(x)=3 tg(x)

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico de f(x)=3tan(x), determinar domínio e imagem (quando possível) e, por fim, analisar se a função é limitada superiormente ou inferiormente e se possui máximos ou mínimos globais. O conteúdo envolve as propriedades da função tangente: domínio, assíntotas, período, comportamento e escala por um fator 3.

Passo 2

Precisamos primeiro encontrar o domínio de f(x). Lembrando que tan(x) está indefinida sempre que cos(x)=0, ou seja, em
x = pi2 + kpi, kinZ
Portanto,
Dom(f)= Rsetminusltfracpi2+kpi:,kinZr

Passo 3

Para esboçar o gráfico de f(x)=3tan(x):
  • O período é o mesmo da tangente pura, isto é, pi.
  • Há assíntotas verticais em x=tfracpi2+kpi.
  • No intervalo (-tfracpi2,tfracpi2), tan(x) varia de -infty a +infty, e multiplicando por 3 o formato se mantém, mas a curva fica mais “íngreme” perto de zero (derivada em 0 é 3).
  • A função passa por (0,0) e se repete a cada pi.
    Com isso, o esboço consiste em ramos que crescem de -infty a +infty em cada intervalo livre de assíntotas, com inclinação inicial maior por causa do fator 3.

Passo 4

Como tan(x) tem imagem R, ao multiplicar por 3 obtemos também
Im(f)=R

Passo 5

Como a imagem é todo R, a função não é limitada nem superiormente nem inferiormente. Assim, ela não possui máximo nem mínimo global.

Resposta

Domínio: Rsetminustfracpi2+kpi:,kinZ.
Imagem: R.
Não é limitada superiormente nem inferiormente.
Não possui máximos nem mínimos globais.

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