Utilize o método das seções transversais para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por:
y=3+2 x-x^{2} ; x+y=3, em torno do eixo x.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas y=3+2x-x^{2} e x+y=3 em torno do eixo x.
Informações dadas:
  • Uma curva dada por y=3+2x-x^{2}.
  • Uma reta dada por x+y=3, que podemos reescrever como y=3-x.
  • O eixo de rotação é o eixo x.
  • A região é a interseção das duas curvas (região limitada por ambas).
    (A resolução — como encontrar interseções, escolher cortes e calcular o volume — começa a seguir.)

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção das duas curvas para obter os limites da integração.
Igualamos as expressões de y:
3+2x-x^{2}=3-x.
Subtraindo 3-x dos dois lados:
3+2x-x^{2}-3+x=0 \quad\Rightarrow\quad -x^{2}+3x=0.
Fatorando:
-x(x-3)=0.
Logo as soluções são x=0 e x=3. Esses serão os limites de integração: x\in[0,3].

Passo 3

Decidir o tipo de seção transversal (método das seções transversais).
Como o eixo de rotação é o eixo x, e vamos integrar no sentido de x (entre x=0 e x=3), a seção transversal perpendicular ao eixo x em cada x será um disco anelar (uma “washers”) formado pela rotação do segmento vertical entre as duas curvas. A fórmula geral do volume por seções transversais é:
V=\int_{a}^{b} A(x)\,dx,
onde A(x) é a área da seção transversal em x.

Passo 4

Determinar raios externo e interno das seções (distâncias ao eixo x).
Para cada x\in[0,3]:
  • A curva superior é a parábola y_{\text{top}}(x)=3+2x-x^{2} (verificação rápida: em x=1 a parábola vale 4 e a reta vale 2, então a parábola está acima).
  • A curva inferior é a reta y_{\text{bot}}(x)=3-x.
Ao rotacionar em torno do eixo x, o raio externo do anel é a distância do eixo x até a curva superior:
R(x)=y_{\text{top}}(x)=3+2x-x^{2}.
O raio interno é a distância até a curva inferior:
r(x)=y_{\text{bot}}(x)=3-x.
Ambos são não-negativos no intervalo [0,3] (em 0 valem 3, em 3 valem 0), então o esquema de washers é válido.

Passo 5

Escrever a área da seção transversal em x.
A área de um anel (washers) com raio externo R e interno r é
A=\pi\big(R^{2}-r^{2}\big).
Substituindo R(x) e r(x):
A(x)=\pi\Big((3+2x-x^{2})^{2}-(3-x)^{2}\Big).

Passo 6

Montar a integral do volume.
Usando V=\int_{0}^{3} A(x)\,dx, obtemos
V=\pi\int_{0}^{3}\Big((3+2x-x^{2})^{2}-(3-x)^{2}\Big)\,dx.

Passo 7

Expandir os quadrados para simplificar o integrando (aqui faço passo a passo da expansão).
Primeiro expando (3+2x-x^{2})^{2}. É mais claro escrever como (-x^{2}+2x+3)^{2}. Calculando termo a termo:
(-x^{2})^{2}=x^{4},
2\cdot(-x^{2})\cdot(2x)=-4x^{3},
2\cdot(-x^{2})\cdot 3=-6x^{2},
(2x)^{2}=4x^{2},
2\cdot(2x)\cdot 3=12x,
3^{2}=9.
Somando:
(3+2x-x^{2})^{2}=x^{4}-4x^{3}+(-6x^{2}+4x^{2})+12x+9=x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+12x+9.
Agora expando (3-x)^{2}:
(3-x)^{2}=9-6x+x^{2}.
Subtraindo os dois:
(3+2x-x^{2})^{2}-(3-x)^{2}=(x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+12x+9)-(9-6x+x^{2}).
Cancelando e combinando termos:
= x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+12x+9-9+6x-x^{2}
= x^{4}-4x^{3}-3x^{2}+18x.
Portanto o integrando simplificado é x^{4}-4x^{3}-3x^{2}+18x.

Passo 8

Reescrever a integral pronta para integrar:
V=\pi\int_{0}^{3}\big(x^{4}-4x^{3}-3x^{2}+18x\big)\,dx.
Agora vou integrar termo a termo. Lembrete rápido: a primitiva de x^{n} é \dfrac{x^{n+1}}{n+1} (para n\neq-1). Isso é a regra básica de potência para integrais indefinidas.
Aplicando:
\int x^{4}\,dx=\dfrac{x^{5}}{5},\qquad \int -4x^{3}\,dx=-4\cdot\dfrac{x^{4}}{4}=-x^{4},
\int -3x^{2}\,dx=-3\cdot\dfrac{x^{3}}{3}=-x^{3},\qquad \int 18x\,dx=18\cdot\dfrac{x^{2}}{2}=9x^{2}.
Assim uma primitiva é
F(x)=\dfrac{x^{5}}{5}-x^{4}-x^{3}+9x^{2}.

Passo 9

Avaliar a integral definida de 0 a 3:
\int_{0}^{3}\big(x^{4}-4x^{3}-3x^{2}+18x\big)\,dx=F(3)-F(0).
Calcule F(3):
F(3)=\dfrac{3^{5}}{5}-3^{4}-3^{3}+9\cdot 3^{2}.
Computando potências:
3^{5}=243,\quad 3^{4}=81,\quad 3^{3}=27,\quad 3^{2}=9.
Substituindo:
F(3)=\dfrac{243}{5}-81-27+9\cdot 9.
9\cdot 9=81,\quad\text{logo }-81-27+81=-27.
Portanto
F(3)=\dfrac{243}{5}-27=\dfrac{243-135}{5}=\dfrac{108}{5}.
E F(0)=0. Então a integral vale \dfrac{108}{5}.

Passo 10

Multiplicar pelo fator \pi que estava fora da integral para obter o volume final:
V=\pi\cdot \dfrac{108}{5}=\dfrac{108}{5}\pi.

Resposta

\dfrac{108}{5}\pi

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