Utilize o método das seções transversais para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por:
, em torno do eixo
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas
e
em torno do eixo
.
Informações dadas:
- Uma curva dada por
. - Uma reta dada por
, que podemos reescrever como . - O eixo de rotação é o eixo
. - A região é a interseção das duas curvas (região limitada por ambas).
(A resolução — como encontrar interseções, escolher cortes e calcular o volume — começa a seguir.)
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção das duas curvas para obter os limites da integração.
Igualamos as expressões de
:
Subtraindo
dos dois lados:
Fatorando:
Logo as soluções são
e
. Esses serão os limites de integração:
.
Passo 3
Decidir o tipo de seção transversal (método das seções transversais).
Como o eixo de rotação é o eixo
, e vamos integrar no sentido de
(entre
e
), a seção transversal perpendicular ao eixo
em cada
será um disco anelar (uma “washers”) formado pela rotação do segmento vertical entre as duas curvas. A fórmula geral do volume por seções transversais é:
onde
é a área da seção transversal em
.
Passo 4
Determinar raios externo e interno das seções (distâncias ao eixo
).
Para cada
:
- A curva superior é a parábola
(verificação rápida: em a parábola vale e a reta vale , então a parábola está acima). - A curva inferior é a reta
.
Ao rotacionar em torno do eixo
, o raio externo do anel é a distância do eixo
até a curva superior:
O raio interno é a distância até a curva inferior:
Ambos são não-negativos no intervalo
(em
valem
, em
valem
), então o esquema de washers é válido.
Passo 5
Escrever a área da seção transversal em
.
A área de um anel (washers) com raio externo
e interno
é
Substituindo
e
:
Passo 6
Montar a integral do volume.
Usando
, obtemos
Passo 7
Expandir os quadrados para simplificar o integrando (aqui faço passo a passo da expansão).
Primeiro expando
. É mais claro escrever como
. Calculando termo a termo:
Somando:
Agora expando
:
Subtraindo os dois:
Cancelando e combinando termos:
Portanto o integrando simplificado é
.
Passo 8
Reescrever a integral pronta para integrar:
Agora vou integrar termo a termo. Lembrete rápido: a primitiva de
é
(para
). Isso é a regra básica de potência para integrais indefinidas.
Aplicando:
Assim uma primitiva é
Passo 9
Avaliar a integral definida de
a
:
Calcule
:
Computando potências:
Substituindo:
Portanto
E
. Então a integral vale
.
Passo 10
Multiplicar pelo fator
que estava fora da integral para obter o volume final: