Calcule a integral definida:
\int_{-1}^{3}\left(3 x^{2}+5 x-1\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-1}^{3}\left(3 x^{2}+5 x-1\right)\,dx.
Informações dadas:
  • Os limites de integração são a=-1 (limite inferior) e b=3 (limite superior).
  • A função a integrar é f(x)=3x^{2}+5x-1.
  • Queremos o valor numérico da integral definida entre -1 e 3.

Passo 2

Ideia geral do método (explicação didática):
Para calcular uma integral definida, usamos o Teorema Fundamental do Cálculo: se F é uma primitiva (antiderivada) de f, então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Ou seja, primeiro encontramos uma função F(x) tal que F'(x)=f(x), depois avaliamos F nos extremos e subtraímos. Vou fazer isso passo a passo e explicar as regras usadas.

Passo 3

Regra de linearidade e separação da integral:
A integral de uma soma é a soma das integrais, e constantes saem da integral. Então
\int_{-1}^{3}\left(3 x^{2}+5 x-1\right)\,dx = \int_{-1}^{3}3x^{2}\,dx + \int_{-1}^{3}5x\,dx - \int_{-1}^{3}1\,dx.
Isto é útil porque podemos achar primitivas termo a termo.

Passo 4

Regra de potência para primitivas (explicação didática):
Para n\neq -1, uma primitiva de x^{n} é
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é a constante de integração. Além disso, se temos uma constante c,
\int c\,dx = c x + C.
Também, ao multiplicar por constante: \int c\cdot g(x)\,dx = c\int g(x)\,dx.
Vou aplicar essas regras a cada termo:
  • Para 3x^{2}: usar a constante 3 e a potência x^{2}. Uma primitiva é
\int 3x^{2}\,dx = 3\cdot\frac{x^{3}}{3} = x^{3}.
Expliquei: \frac{x^{2+1}}{2+1}=\frac{x^{3}}{3} e multiplicando por 3 cancela.
  • Para 5x: é 5 vezes x^{1}. Uma primitiva é
\int 5x\,dx = 5\cdot\frac{x^{2}}{2} = \frac{5}{2}x^{2}.
  • Para -1: é constante -1. Uma primitiva é
\int -1\,dx = -x.

Passo 5

Juntando as primitivas para formar F(x):
Uma primitiva da função inteira é
F(x)=x^{3}+\frac{5}{2}x^{2}-x.
(omiti a constante +C porque para integral definida ela se cancela no cálculo F(b)-F(a).)

Passo 6

Avaliação pelo Teorema Fundamental do Cálculo:
Calculo F(3) e F(-1) e faço F(3)-F(-1).
Primeiro F(3):
F(3)=3^{3}+\frac{5}{2}\cdot 3^{2}-3.
Calcule passo a passo:
3^{3}=27,\quad 3^{2}=9,\quad \frac{5}{2}\cdot 9=\frac{45}{2}=22{,}5.
Então
F(3)=27+ \frac{45}{2}-3 = (27-3)+\frac{45}{2}=24+\frac{45}{2}=\frac{48}{2}+\frac{45}{2}=\frac{93}{2}.
Agora F(-1):
F(-1)=(-1)^{3}+\frac{5}{2}\cdot (-1)^{2}-(-1).
Calcule passo a passo:
(-1)^{3}=-1,\quad (-1)^{2}=1,\quad \frac{5}{2}\cdot 1=\frac{5}{2},\quad -(-1)=+1.
Então
F(-1)=-1+\frac{5}{2}+1=\frac{5}{2}.
Porque -1+1=0.
Agora a diferença:
\int_{-1}^{3}\left(3 x^{2}+5 x-1\right)\,dx = F(3)-F(-1)=\frac{93}{2}-\frac{5}{2}=\frac{88}{2}=44.

Resposta

44

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