Calcule a integral definida:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- Os limites de integração são
(limite inferior) e (limite superior). - A função a integrar é
. - Queremos o valor numérico da integral definida entre
e .
Passo 2
Ideia geral do método (explicação didática):
Para calcular uma integral definida, usamos o Teorema Fundamental do Cálculo: se é uma primitiva (antiderivada) de
, então
Para calcular uma integral definida, usamos o Teorema Fundamental do Cálculo: se
Ou seja, primeiro encontramos uma função
tal que
, depois avaliamos
nos extremos e subtraímos. Vou fazer isso passo a passo e explicar as regras usadas.
Passo 3
Regra de linearidade e separação da integral:
A integral de uma soma é a soma das integrais, e constantes saem da integral. Então
A integral de uma soma é a soma das integrais, e constantes saem da integral. Então
Isto é útil porque podemos achar primitivas termo a termo.
Passo 4
Regra de potência para primitivas (explicação didática):
Para , uma primitiva de
é
Para
onde
é a constante de integração. Além disso, se temos uma constante
,
Também, ao multiplicar por constante:
.
Vou aplicar essas regras a cada termo:
- Para
: usar a constante e a potência . Uma primitiva é
Expliquei:
e multiplicando por
cancela.
- Para
: é vezes . Uma primitiva é
- Para
: é constante . Uma primitiva é
Passo 5
Juntando as primitivas para formar
:
Uma primitiva da função inteira é
Uma primitiva da função inteira é
(omiti a constante
porque para integral definida ela se cancela no cálculo
.)
Passo 6
Avaliação pelo Teorema Fundamental do Cálculo:
Calculo e
e faço
.
Calculo
Primeiro
:
Calcule passo a passo:
Então
Agora
:
Calcule passo a passo:
Então
Porque
.
Agora a diferença: