Detemine a falília de primitivas de cada função. Verifique o resultado efetuando a diferenciação.
\int\left(\sqrt[3]{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para determinar a família de primitivas (ou antiderivadas) da função dada e verificar o resultado diferenciando. A função que aparece dentro da integral é
\sqrt[3]{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A integranda pode ser reescrita usando potência: \sqrt[3]{x}=x^{1/3} e \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}=x^{-1/3}.
  • A expressão x^{-1/3} não está definida em x=0, portanto a primitiva que encontrarmos vale em intervalos onde x\neq 0 (por exemplo x>0 e x<0). A raiz cúbica em si é definida para todos x, mas o termo com recíproco impede incluir 0.
  • O que se pede: encontrar F(x) tal que F'(x)=\sqrt[3]{x}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}} e verificar a identidade diferenciando F(x).

Passo 2

Reescrevendo a integranda em potências (isso facilita o uso da regra de potência):
\sqrt[3]{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}} = x^{1/3} + x^{-1/3}.
Explicação curta sobre por que isso vale: \sqrt[3]{x} é a mesma coisa que x^{1/3} por definição de raízes racionais, e dividir por \sqrt[3]{x} equivale a multiplicar por x^{-1/3}.

Passo 3

Regra de integração que vamos usar (regra da potência):
Se temos uma função da forma x^{n} com n\neq -1, então
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é a constante arbitrária de integração. Explicando bem: a ideia é inverter a operação de derivação. Ao derivar \dfrac{x^{n+1}}{n+1} usando a regra do expoente, obtemos exatamente x^{n}. A condição n\neq -1 é necessária porque quando n=-1 a fórmula daria divisão por zero; nesse caso a primitiva é \ln|x|.

Passo 4

Aplicando a regra de potência ao primeiro termo x^{1/3}:
  • Aqui n = \tfrac{1}{3}.
  • Calculamos n+1 = \tfrac{1}{3}+1 = \tfrac{4}{3}.
    Portanto
\int x^{1/3}\,dx = \frac{x^{4/3}}{4/3} + C_1 = \frac{3}{4}\,x^{4/3} + C_1.
Detalhe aritmético: dividir por 4/3 é multiplicar por 3/4.

Passo 5

Agora aplicando ao segundo termo x^{-1/3}:
  • Aqui n = -\tfrac{1}{3}.
  • Calculamos n+1 = -\tfrac{1}{3}+1 = \tfrac{2}{3}.
    Portanto
\int x^{-1/3}\,dx = \frac{x^{2/3}}{2/3} + C_2 = \frac{3}{2}\,x^{2/3} + C_2.
Novamente dividir por 2/3 é multiplicar por 3/2.

Passo 6

Somando as primitivas dos dois termos (podemos juntar as constantes C_1 e C_2 numa única constante C):
F(x) = \frac{3}{4}\,x^{4/3} + \frac{3}{2}\,x^{2/3} + C,
onde C é constante arbitrária. Lembrete do domínio: esta primitiva é válida para x\neq 0 (ou separadamente em x>0 e x<0).

Passo 7

Verificação diferenciando F(x). Vamos derivar termo a termo usando a regra do expoente: se G(x)=a\,x^{m} então G'(x)=a\,m\,x^{m-1}.
  • Derivada de \dfrac{3}{4}x^{4/3}:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{3}{4}x^{4/3}\right) = \frac{3}{4}\cdot\frac{4}{3}\,x^{4/3-1} = 1\cdot x^{1/3} = x^{1/3}.
  • Derivada de \dfrac{3}{2}x^{2/3}:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{3}{2}x^{2/3}\right) = \frac{3}{2}\cdot\frac{2}{3}\,x^{2/3-1} = 1\cdot x^{-1/3} = x^{-1/3}.
Somando:
F'(x)=x^{1/3}+x^{-1/3}=\sqrt[3]{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}},
que é exatamente a integranda. Verificação concluída.

Resposta

\displaystyle F(x)=\frac{3}{4}\,x^{4/3}+\frac{3}{2}\,x^{2/3}+C

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