Detemine a falília de primitivas de cada função. Verifique o resultado efetuando a diferenciação.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a família de primitivas (ou antiderivadas) da função dada e verificar o resultado diferenciando. A função que aparece dentro da integral é
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A integranda pode ser reescrita usando potência:
e . - A expressão
não está definida em , portanto a primitiva que encontrarmos vale em intervalos onde (por exemplo e ). A raiz cúbica em si é definida para todos , mas o termo com recíproco impede incluir . - O que se pede: encontrar
tal que e verificar a identidade diferenciando .
Passo 2
Reescrevendo a integranda em potências (isso facilita o uso da regra de potência):
Explicação curta sobre por que isso vale:
é a mesma coisa que
por definição de raízes racionais, e dividir por
equivale a multiplicar por
.
Passo 3
Regra de integração que vamos usar (regra da potência):
Se temos uma função da forma com
, então
Se temos uma função da forma
onde
é a constante arbitrária de integração. Explicando bem: a ideia é inverter a operação de derivação. Ao derivar
usando a regra do expoente, obtemos exatamente
. A condição
é necessária porque quando
a fórmula daria divisão por zero; nesse caso a primitiva é
.
Passo 4
Aplicando a regra de potência ao primeiro termo
:
- Aqui
. - Calculamos
.
Portanto
Detalhe aritmético: dividir por
é multiplicar por
.
Passo 5
Agora aplicando ao segundo termo
:
- Aqui
. - Calculamos
.
Portanto
Novamente dividir por
é multiplicar por
.
Passo 6
Somando as primitivas dos dois termos (podemos juntar as constantes
e
numa única constante
):
onde
é constante arbitrária. Lembrete do domínio: esta primitiva é válida para
(ou separadamente em
e
).
Passo 7
Verificação diferenciando
. Vamos derivar termo a termo usando a regra do expoente: se
então
.
- Derivada de
:
- Derivada de
:
Somando:
que é exatamente a integranda. Verificação concluída.