Utilize o método de separação de variáveis para obter soluções em forma de produto para a equação:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o método de separação de variáveis para encontrar soluções na forma de produto para a equação diferencial parcial
. Isso está dentro do conteúdo de Equações Diferenciais Parciais. Para resolver, vamos precisar assumir que a solução pode ser escrita como um produto de funções que dependem apenas de
e de
.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
pode ser escrita como um produto de duas funções, uma que depende só de
e outra que depende só de
. Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
e
usando essa forma de produto. A derivada de
em relação a
é:
E a derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na equação original
, temos:
Passo 5
Vamos reorganizar essa equação para isolar as funções de
e
. Dividindo ambos os lados por
, obtemos:
Isso nos dá que ambos os lados da equação são iguais a uma constante, que podemos chamar de
.
Passo 6
Agora, temos duas equações separadas:
Vamos resolver cada uma delas.
Passo 7
Primeiro, resolvemos para
:
Essa é uma equação diferencial ordinária cuja solução é:
onde
é uma constante.
Passo 8
Agora, resolvemos para
:
Semelhante à equação anterior, a solução é:
onde
é outra constante.
Passo 9
Finalmente, combinamos
e
para obter a solução geral:
onde
é uma constante geral.
Resposta
As soluções em forma de produto para a equação
são da forma:
onde
e
são constantes.