Utilize o método de separação de variáveis para obter soluções em forma de produto para a equação:
ux=ut

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o método de separação de variáveis para encontrar soluções na forma de produto para a equação diferencial parcial . Isso está dentro do conteúdo de Equações Diferenciais Parciais. Para resolver, vamos precisar assumir que a solução pode ser escrita como um produto de funções que dependem apenas de e de .

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução u(x, t) = X(x) cdot T(t) pode ser escrita como um produto de duas funções, uma que depende só de e outra que depende só de . Ou seja:

Passo 3

Agora, vamos derivar ux = dXdx cdot T(t) em relação a ut = X(x) cdot dTdt e usando essa forma de produto. A derivada de em relação a é:
E a derivada de em relação a é:

Passo 4

Substituindo essas derivadas na equação original dXdx cdot T(t) = X(x) cdot dTdt , temos:

Passo 5

Vamos reorganizar essa equação para isolar as funções de 1X(x) cdot dXdx = 1T(t) cdot dTdt e . Dividindo ambos os lados por , obtemos:
Isso nos dá que ambos os lados da equação são iguais a uma constante, que podemos chamar de .

Passo 6

Agora, temos duas equações separadas:
1X(x) cdot dXdx = lambda e 1T(t) cdot dTdt = lambda
Vamos resolver cada uma delas.

Passo 7

Primeiro, resolvemos para dXdx = lambda X(x) :
X(x) = A e^lambda x
Essa é uma equação diferencial ordinária cuja solução é:
onde é uma constante.

Passo 8

Agora, resolvemos para dTdt = lambda T(t) :
T(t) = B e^lambda t
Semelhante à equação anterior, a solução é:
onde é outra constante.

Passo 9

Finalmente, combinamos u(x, t) = X(x) cdot T(t) = A e^lambda x cdot B e^lambda t = C e^lambda (x + t) e para obter a solução geral:
onde é uma constante geral.

Resposta

As soluções em forma de produto para a equação u(x, t) = C e^lambda (x + t) são da forma:
onde e são constantes.

Exercícios relacionados