Utilize o método de separação de variáveis para obter soluções em forma de produto para a equação:
Passo 1
Então, temos uma equação diferencial parcial que se parece com isso:
. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais parciais e vamos usar o método de separação de variáveis para encontrar soluções que sejam produtos de funções de
e
. Para resolver, vamos separar as variáveis e encontrar funções que quando multiplicadas, satisfazem a equação.
Passo 2
Primeiro, assumimos que a solução pode ser escrita como um produto de duas funções, uma que depende apenas de
e outra que depende apenas de
. Então, vamos supor que:
Aqui,
é uma função de
e
é uma função de
.
Passo 3
Agora, vamos substituir essa forma de
na equação original
.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Passo 4
Dividimos ambos os lados da equação por
para separar as variáveis:
Agora, temos uma equação onde um lado depende só de
e o outro só de
.
Passo 5
Como o lado esquerdo depende de
e
de forma separada, ambos os lados devem ser iguais a uma constante, digamos
. Então, temos:
Passo 6
Vamos resolver cada equação separadamente. Primeira, para
:
Resolvendo essa equação diferencial, obtemos:
onde
é uma constante.
Passo 7
Agora, para
:
Resolvendo essa equação diferencial, obtemos:
onde
é outra constante.
Passo 8
Finalmente, juntamos
e
para obter a solução geral:
onde
é uma constante geral.
Resposta
A solução em forma de produto para a equação
é:
onde
e
são constantes.