Utilize o método de separação de variáveis para obter soluções em forma de produto para a equação:
ux+ut=u

Passo 1

Então, temos uma equação diferencial parcial que se parece com isso: . O conteúdo aqui envolve equações diferenciais parciais e vamos usar o método de separação de variáveis para encontrar soluções que sejam produtos de funções de e . Para resolver, vamos separar as variáveis e encontrar funções que quando multiplicadas, satisfazem a equação.

Passo 2

Primeiro, assumimos que a solução pode ser escrita como um produto de duas funções, uma que depende apenas de u(x, t) = X(x) cdot T(t) e outra que depende apenas de . Então, vamos supor que:
Aqui, é uma função de e é uma função de .

Passo 3

Agora, vamos substituir essa forma de ux = ddx[X(x) cdot T(t)] = X'(x) cdot T(t) na equação original ut = ddt[X(x) cdot T(t)] = X(x) cdot T'(t) .
Calculando as derivadas:
X'(x) cdot T(t) + X(x) cdot T'(t) = X(x) cdot T(t)
Substituindo na equação:

Passo 4

Dividimos ambos os lados da equação por X'(x)X(x) + T'(t)T(t) = 1 para separar as variáveis:
Agora, temos uma equação onde um lado depende só de e o outro só de .

Passo 5

Como o lado esquerdo depende de X'(x)X(x) = lambda e T'(t)T(t) = 1 - lambda e de forma separada, ambos os lados devem ser iguais a uma constante, digamos . Então, temos:

Passo 6

Vamos resolver cada equação separadamente. Primeira, para X'(x)X(x) = lambda implies X'(x) = lambda X(x) :
X(x) = C1 e^lambda x
Resolvendo essa equação diferencial, obtemos:
onde é uma constante.

Passo 7

Agora, para T'(t)T(t) = 1 - lambda implies T'(t) = (1 - lambda) T(t) :
T(t) = C2 e^(1 - lambda) t
Resolvendo essa equação diferencial, obtemos:
onde é outra constante.

Passo 8

Finalmente, juntamos u(x, t) = X(x) cdot T(t) = C1 e^lambda x cdot C2 e^(1 - lambda) t = C e^lambda x + (1 - lambda) t e para obter a solução geral:
onde é uma constante geral.

Resposta

A solução em forma de produto para a equação u(x, t) = C e^lambda x + (1 - lambda) t é:
onde e são constantes.

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