Calcule integral duplaSlang<=F, nrang<= d S, onde F(x, y, z)=(z+3 x) i+5 y j+(z+3) k e S é a superfície do sólido limitado por z=1-y^2, x=0, x=2 e o plano x y, com vetor normal n apontando para fora.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície integral duplaSlang<=F, nrang<= d S, onde o campo vetorial é F(x, y, z) = (z + 3x) i + 5y j + (z + 3) k. A superfície S delimita um sólido definido por z = 1 - y^2, x = 0, x = 2 e pelo plano xy. O vetor normal n deve apontar para fora. Para resolver isso, vamos usar o teorema da divergência, que relaciona a integral de superfície com a integral de volume, facilitando os nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teorema da Divergência. Ele diz que:
integral duplaS lang<= F, n rang<= dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
Isso significa que, em vez de calcular a integral na superfície, podemos calcular a divergência de F e integrá-la sobre o volume V delimitado por S. Isso costuma ser mais simples.

Passo 3

Vamos calcular a divergência de F, que é dada por:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Onde F = Fx i + Fy j + Fz k.
No nosso caso:
Fx = z + 3x Fy = 5y Fz = z + 3
Calculando as derivadas parciais:
partial Fxpartial x = 3 partial Fypartial y = 5 partial Fzpartial z = 1
Portanto,
nabla cdot F = 3 + 5 + 1 = 9

Passo 4

Agora, temos que integrar a divergência sobre o volume V. Primeiro, precisamos descrever os limites desse volume.
Dado que z = 1 - y^2, isso nos dá o limite superior de z em termos de y. O limite inferior é o plano xy, onde z = 0.
As restrições para x são entre 0 e 2, e para y, vamos ver que z = 1 - y^2 >= 0 Rightarrow y^2 <= 1 Rightarrow -1 <= y <= 1.
Então, os limites de integração são:
0 <= x <= 2 -1 <= y <= 1 0 <= z <= 1 - y^2

Passo 5

Vamos montar a integral tripla para calcular o volume:
integral triplaV 9 , dV = 9 integral0^2 integral-1^1 integral0^1 - y^2 dz , dy , dx
Primeiro, integramos em relação a z:
integral0^1 - y^2 dz = (1 - y^2) - 0 = 1 - y^2
Então, a integral fica:
9 integral0^2 integral-1^1 (1 - y^2) , dy , dx

Passo 6

Vamos agora integrar em relação a y:
integral-1^1 (1 - y^2) , dy = integral-1^1 1 , dy - integral-1^1 y^2 , dy
Calculando cada parte:
integral-1^1 1 , dy = [y]-1^1 = 1 - (-1) = 2
integral-1^1 y^2 , dy = [ y^33 ]-1^1 = ( 13 - ( -13 ) ) = 23
Então,
integral-1^1 (1 - y^2) , dy = 2 - 23 = 43
Agora, a integral fica:
9 integral0^2 43 , dx = 9 cdot 43 integral0^2 , dx = 12 integral0^2 , dx

Passo 7

Finalmente, integramos em relação a x:
integral0^2 , dx = [x]0^2 = 2 - 0 = 2
Portanto,
12 cdot 2 = 24

Resposta

O valor da integral de superfície integral duplaSlang<=F, nrang<= d S é 24.

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