Calcule
, onde
e
é a superfície do sólido limitado por
e o plano
, com vetor normal
apontando para fora.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície
, onde o campo vetorial é
. A superfície
delimita um sólido definido por
,
,
e pelo plano
. O vetor normal
deve apontar para fora. Para resolver isso, vamos usar o teorema da divergência, que relaciona a integral de superfície com a integral de volume, facilitando os nossos cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do Teorema da Divergência. Ele diz que:
Isso significa que, em vez de calcular a integral na superfície, podemos calcular a divergência de
e integrá-la sobre o volume
delimitado por
. Isso costuma ser mais simples.
Passo 3
Vamos calcular a divergência de
, que é dada por:
Onde
.
No nosso caso:
Calculando as derivadas parciais:
Portanto,
Passo 4
Agora, temos que integrar a divergência sobre o volume
. Primeiro, precisamos descrever os limites desse volume.
Dado que
, isso nos dá o limite superior de
em termos de
. O limite inferior é o plano
, onde
.
As restrições para
são entre
e
, e para
, vamos ver que
.
Então, os limites de integração são:
Passo 5
Vamos montar a integral tripla para calcular o volume:
Primeiro, integramos em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos agora integrar em relação a
:
Calculando cada parte:
Então,
Agora, a integral fica:
Passo 7
Finalmente, integramos em relação a
:
Portanto,
Resposta
O valor da integral de superfície
é 24.