Verifique se a função dada (y) é uma solução da equação diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a função dada $ y = \frac{1 + e^{2 t}}{1 - e^{2 t}} $ é uma solução da equação diferencial $ y’ = y^{2} - 1 $. Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais, onde a ideia é encontrar funções que satisfaçam uma determinada relação envolvendo suas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que $ y’ $ representa a derivada de $ y $ em relação a $ t $. Então, precisamos calcular a derivada da função $ y = \frac{1 + e^{2 t}}{1 - e^{2 t}} $.
Passo 3
Para derivar $ y $, vamos usar a regra do quociente, que diz que se $ y = \frac{u}{v} $, então $ y’ = \frac{u’v - uv’}{v^{2}} $.
Aqui, $ u = 1 + e^{2 t} $ e $ v = 1 - e^{2 t} $.
Passo 4
Calculando as derivadas de $ u $ e $ v $:
Passo 5
Agora, aplicando a regra do quociente:
Passo 6
Vamos simplificar o numerador:
Então,
Passo 7
Agora, vamos calcular $ y^{2} - 1 $:
Primeiro, $ y^{2} = \left( \frac{1 + e^{2 t}}{1 - e^{2 t}} \right)^{2} = \frac{(1 + e^{2 t})^{2}}{(1 - e^{2 t})^{2}} $.
Então,
Passo 8
Simplificando o numerador:
Então,
Passo 9
Comparando $ y’ $ e $ y^{2} - 1 $:
Eles são iguais!
Resposta
Sim, a função $ y = \frac{1 + e^{2 t}}{1 - e^{2 t}} $ é uma solução da equação diferencial $ y’ = y^{2} - 1 $.