Verifique se a função dada (y) é uma solução da equação diferencial.
y^prime=y^2-1, y=1+e^2 t1-e^2 t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a função dada $ y = \frac{1 + e^{2 t}}{1 - e^{2 t}} $ é uma solução da equação diferencial $ y’ = y^{2} - 1 $. Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais, onde a ideia é encontrar funções que satisfaçam uma determinada relação envolvendo suas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que $ y’ $ representa a derivada de $ y $ em relação a $ t $. Então, precisamos calcular a derivada da função $ y = \frac{1 + e^{2 t}}{1 - e^{2 t}} $.

Passo 3

Para derivar $ y $, vamos usar a regra do quociente, que diz que se $ y = \frac{u}{v} $, então $ y’ = \frac{u’v - uv’}{v^{2}} $.
Aqui, $ u = 1 + e^{2 t} $ e $ v = 1 - e^{2 t} $.

Passo 4

Calculando as derivadas de $ u $ e $ v $:
u
v

Passo 5

Agora, aplicando a regra do quociente:
y' = u'v - uv'v^2 = (2 e^2 t)(1 - e^2 t) - (1 + e^2 t)(-2 e^2 t)(1 - e^2 t)^2

Passo 6

Vamos simplificar o numerador:
(2 e^2 t)(1 - e^2 t) - (1 + e^2 t)(-2 e^2 t) = 2 e^2 t - 2 e^4 t + 2 e^2 t + 2 e^4 t = 4 e^2 t
Então,
y' = 4 e^2 t(1 - e^2 t)^2

Passo 7

Agora, vamos calcular $ y^{2} - 1 $:
Primeiro, $ y^{2} = \left( \frac{1 + e^{2 t}}{1 - e^{2 t}} \right)^{2} = \frac{(1 + e^{2 t})^{2}}{(1 - e^{2 t})^{2}} $.
Então,
y^2 - 1

Passo 8

Simplificando o numerador:
(1 + e^2 t)^2 - (1 - e^2 t)^2 = [1 + 2 e^2 t + e^4 t] - [1 - 2 e^2 t + e^4 t] = 4 e^2 t
Então,
y^2 - 1 = 4 e^2 t(1 - e^2 t)^2

Passo 9

Comparando $ y’ $ e $ y^{2} - 1 $:
y'
Eles são iguais!

Resposta

Sim, a função $ y = \frac{1 + e^{2 t}}{1 - e^{2 t}} $ é uma solução da equação diferencial $ y’ = y^{2} - 1 $.

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